设交点坐标解反比例函数

陈志勇

反比例函数与几何图形的综合题常常出现在中考试卷中，这类题目难度往往属于中等，但有时候反比例函数与几何图形的综合题难度挺大的，怎么解决这类题目呢？

例1如图1，A、M是反比例函数图像上的两点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D.BM∶DM=8∶9，当四边形OADM的面积为时，k=________.

图1

【思路分析】四边形OADM的面积=矩形OCDB的面积-△BOM的面积-△OAC的面积，△BOM的面积和△OAC的面积都是所以只要能表示出矩形OCDB的面积即可.

由于BM∶DM=8∶9，可设M点的坐标为则D点横坐标为17m，所以A点的坐标为（

由于四边形OADM的面积为，点D的坐标为可列方程解得k=6.

【方法点拨】要表示一个四边形的面积，首先要求出四个顶点的坐标或设出点的坐标.在双曲线与几何图形的综合题中，常常设双曲线上的点的坐标，特别是双曲线与直线的交点的坐标.这样这个坐标既在双曲线上，又在直线上，为问题的解决提供便利.

例2（2017·南通）如图2，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=的图像经过点A（5，12），且与边BC交于点D，若AB=BD，则点D的坐标为_______.

图2

图3

【思路分析】如图3，延长BA交y轴于点M，过点B作BN⊥x轴，过点D作DN⊥y轴，BN与DN相交于点N，由于点A（5，12），可得k=60.

易证△AOM∽△DBN，所以DN∶BN∶BD=5∶12∶13.设DN=5m，BN=12m，BD=13m，则可以表示出D点坐标为（5+8m，12-12m）.

根据k=60，可得（5+8m）（12-12m）=60，解得，则

例3如图4，直线与双曲线（x＞0）交于点A.将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若则k=________.

图4

【方法一】分别过点A、B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，由于点A是直线上一点，可设A点坐标为，由于△AOD∽△BCE，可知AD=2BE，所以B点的纵坐标为（根据相似，求出B点纵坐标.）

直线BC是由直线向右平移个单位后得到的，因此BC的解析式为即所以点B坐标为（根据BC解析式，求出B点坐标.）

由于点A、B都在双曲线上，所以，解得a=3.所以点A（3，4），所以k=12.（根据双曲线上所有的横纵坐标为一个常数，求出字母a的值.）

【方法二】设点A的坐标为利用前面的思路，可得B点纵坐标为，所以点B坐标为

因为经过点A，所以

因为BC：经过点B，所以

①代入②得：，解得a=3，将a=3代入①，可求得k=12.

【方法点拨】解决函数图像中的几何图形问题，常考虑设点的坐标，选择设哪个点的坐标呢？一些关键位置的点，如函数图像的交点，或函数与几何图形的交点，常被我们作为待设对象.