“问题导学”下的教学设计与思考

2018-05-23 11:16陈婷婷
中学教学参考·理科版 2018年3期
关键词:问题导学

陈婷婷

[摘要]“等比数列前n项和公式”是高中数学的一个典型课题,而“错位相减法”是数列求和的基本方法,教学中怎样将其合理呈现给学生是一个难点.如何以“问”导“学”,促进学生思维活动步步深入,提升学生的解决问题能力是“等比数列的前n项和公式”教学设计的关键.

[关键词]问题导学;等比数列求和;错位相减法

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2018)08000402

“等比数列的前n项和”是高中数学人教A版必修5第二章《数列》的内容,教材中介绍的推导方法是“错位相减法”,如果学生没有课前预习,是难以想到和发现这种方法的.怎样通过“问题”引导,让学生体验、尝试发现的过程,是本节课教学设计的关键.现笔者将自己的思考与设计呈现如下.

一、教学过程

1.新课引入

创设故事情境引入新课:国际象棋起源于古印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放1颗麦粒,第2个格子里放2颗麦粒,第3个格子里放4颗麦粒,以此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里的两倍,直到第64个格子.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.

问题1:国王总共需要给发明者多少颗麦粒?如何计算?

生1:1+2+22+23+…+263.

师:很显然,每个格子的麦粒数构成了一个等比数列,首项是1,公比是2,由等比数列的通项公式an=a1qn-1可以很快写出每个数据.事实上,这就是一个求等比数列前64项和的问题.这节课我们就一起来研究等比数列的前n项和.

2.概念形成

师:研究新知识之前,不妨先来回顾一下我们是如何推导等差数列的前n项和公式的.

问题2:如何推导等差数列的前n项和公式?

生2:倒序相加,通过再构造一个等式,两式相加,把对应项的和转化为a1+an.

师:实质上就是把对应项的和都转化为同一项a1+an,把其余大量的项都消去,只保留a1,an,从而达到简化公式的目的.得到求和公式后,我们就知道等差数列前n项和公式与a1,d,n,an有关.类比过来,即可推出等比数列的前n项和公式.

问题3:等比数列{an}的前n项和公式与哪些量有关呢?

生3:a1,q,n,an.

师:没错,等比数列前n项和公式就是用这几个基本量来表示的.

生4:可以把Sn=a1+a2+a3+…+an写成Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.

师:很好!根据等差数列前n项和公式的推导方法,我们要对这个式子进行化简,实质上就是要把大量的項消去,使得式子最终只留下有限的几个项.

问题4:如何消项?是否还可以用倒序相加?

生5:不可以,倒序相加后对应项的和不一定相等.

师:倒序相加后对应项的和不能转化为相同的项,所以不行;两式相加不行,那两式相减可不可以消项呢?

生6:不可以,两式相减后全部都消去了.

问题5:如何构造一个新的等式,使得两式相减可以消去大量的项?

生7:两个式子中必须要有一些项不同,其余的项相同.

师:如何构造相同的项呢?我们不妨来回顾一下等比数列的定义.

问题6:等比数列的定义是什么?

生8:从第2项起,每一项与前一项的比等于同一个常数q.

师:换句话说,每一项乘上q都等于后一项.是否可以围绕定义构造一个新的等式,使得两式有相同的项?

(学生探究)

生9:把式子的每一项都同乘以q,得到qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn,两式就出现了大量相同的项.两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,则

Sn=a1-a1qn1-q

.

师:除以“1-q”要注意什么?

生10:“1-q”不能等于0,即当q≠1时,Sn=a1-a1qn1-q

.

师:当q=1时呢?

生10:当q=1时,数列是常数列,其前n项和公式为Sn=na1.

师:到这里,我们就推导出了等比数列前n项和公式,即

Sn=

na1(q=1),

a1(1-qn)1-q(q≠1).

用这个公式可以快速地求出任意等比数列的前n项和.在推导公式的过程中,是利用两个等式相减的,并且是错开相减的,所以我们把这种数列求和的方法叫作“错位相减法”.

3.概念深化

师:推导出了公式后,我们还需要进一步深入地认识这个公式.下面课堂进入到第三个环节“概念深化”.

师:首先我们来分析公式的结构,当q≠1时它是分式的结构,分母不能为0,也就是q≠1,再来看分子,a1是首项,q是公比,n是总项数.

问题7:等差数列的前n项和公式,可以用a1、an、n表示,等比数列的前n项和公式是否也可以?

生11:当q≠1时,由通项公式an=a1qn-1可得Sn=a1-anq1-q.

师:很好!那么我们得到了公式的另一种形式.

问题8:这两个公式分别适用于什么情况?

生12:已知a1、q、n用第一个公式,

已知

a1、q、an用第二个公式.

师:当q≠1时,第一个公式中有几个量?

生13:四个.

师:在第一个公式中知道其中三个就可以求第四个,同样在第二个公式中,也是有四个量,知道其中三个就可以求第四个.

4.应用探索

师:相信同学们已经学会了等比数列的前n项和公式,让我们回到一开始提出的问题1中,请同学们计算一下国王总共需要给发明者多少颗麦子.

(学生计算得到1+2+22+23+…+263=

1×(1-264)1-2

=264-1

师:“264-1”这个数很大,约等于1.84×1019,这么多颗麦子计算重量的话已经超过了7000亿吨,即便国王拿出全国的糧食,也不够赏给发明者.如果国王学过等比数列的前n项和公式的话,就可以计算出来需要这么多的麦子,也就不会这么爽快地答应发明者的要求了.

师:看来同学们已经能够熟练运用等比数列的前n项和公式解决问题了,接下来,我们将通过一些练习来巩固对公式的理解和运用.

【例1】已知等比数列12,

14,18,…,(1)求前8项之和;(2)求第5项到第10项之和.

【例2】等比数列{an}中,若Sn=189,q=2,an=96,求a1、n.

5.总结归纳

师:通过这节课的学习,你能够解决什么问题?我们是如何推导出等比数列的前n项和公式的?那

还有没有其他推导等比数列前n项和公式的方法?请同学们课后思考.

二、教学思考

上述教学是围绕“问题导学”教学法的五环节“新课引入、概念形成、概念深化、应用探索、总结归纳”来展开的,整个教学过程以问题为载体,引导学生推导公式并运用公式解决问题,收到了良好的教学效果.

第一环节“新课引入”,首先创设国际象棋与麦粒的

故事情境,然后再抛出问题1,激发学生的求知欲.在教师的引导下,学生要计算麦粒的总数,可把64个项逐一相加,但是运算量太大,学生难以计算,此时学生就会想知道有没有其他简便的计算方法,教师引入等比数列前n项和的问题就水到渠成了.

第二环节“概念形成”的主要任务是公式的推导,要注重引导学生理解公式推导过程的合理性.公式的推导实际就是化简,难点在于如何想到要两边同时乘以公比q.知识不是平白无故产生的,如何让公式的推导过程能够自然合理地呈现给学生,需要教师通过问题来引导.问题2和问题3的目的是以旧引新,回顾等差数列前n项和公式以及推导过程,即利用倒序相加消去大量的项,达到简化公式的目的,并且化简后的公式是用基本量表示;类比过来,等比数列的前n项和公式也可以通过消项来达到化简目的.通过这两个问题,为公式的推导找到了方向,且明确了公式化简的标志是能用基本量表示出来.接下来,要解决的问题是怎样才能消项化简,这是难点.根据已有经验,学生很容易会想到继续利用倒序相加法,因此提出问题4,学生尝试后便会发现运用倒序相加法行不通.加减乘除是基本的运算法则,两式相加不行,那相减呢?由此自然地提出了问题5,引导学生思考如何构造新的等式,再通过问题6复习等比数列的定义,学生就比较容易想到构造相同项的方法——每一项都同乘以公比q.至此,学生就可以顺利地进行后续的推导了.通过这一系列问题的铺垫,使学生的思维活动步步深入,充分感受到两边同乘以公比q的合理性,感悟错位相减法的应用价值,提高了解决问题能力.

第三环节“概念深化”要注重挖掘公式的内涵与外延.通过问题引导学生对公式的结构、形式、适用范围等进行深化认识,认清公式的本质特征,从而学会熟练地运用公式解决实际问题.在不少教学设计中,教师会向学生介绍其他的推导方法,本节课的重点是利用错位相减法推导公式,错位相减法是后续学习数列求和的重要方法之一,因此,教师应该重点介绍错位相减法,让学生掌握好这一方法,其他的方法可让学生课后自主探究.

第四环节“应用探索”的主要任务是例题的讲解,检验学生是否能够运用公式解决问题.在这一环节中,教师要思考为什么要讲这些题,目的是什么.笔者在教学中,首先回答前面提出的问题1,首尾呼应,在解决问题的过程中,学生可以充分体会到公式的作用,感受数学之美;接着是两个例题,例1是正向运用第一个公式,例2是逆向运用第二个公式.通过两个例题,让学生充分体会“知三求一”以及两个公式的适用情况,从而强化对公式的理解和运用.

最后在“总结归纳”环节,笔者先通过两个问题引导学生总结本节课所学知识的重点和关键,然后留下课后思考题引导学生自主探索推导公式的其他方法.

综上可知,精心设计好课堂问题,以问题为载体,启发、引导学生理解知识发生和发展的必要性和合理性,并学会应用所学知识解决实际问题,对提高课堂教学效果和培养学生的能力十分重要.

(责任编辑黄春香)

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