选对方法，巧妙攻克立体几何解题难关

☉江苏省泗阳中学 王正军

立体几何是高中数学教学的重点和难点.在高中几何问题的解答过程中，学生需要对几何图形有一个准确的认知，还要采取有效的解题策略去解决几何问题.那么，常见而有用的立体几何解题技巧有哪些呢？文章结合不同的例题，对立体几何解题技巧进行了解答，希望能激发和培养学生的逻辑推理能力，使学生在了解知识内容关系的基础上，培养空间想象能力和解题能力.

一、充分利用向量进行解题

例1（2015年全国卷）如图1，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；

图1

（2）求直线AE和直线CF所成角的余弦值.

分析：在对问题（1）进行解答的过程中，可以连接BD，并且设BD∩AC与点G，并且连接EG、FG、EF，假设GB=1，可证EG⊥AC，通过相应的计算得出EG⊥FG，根据线面垂直的判定定理能够得出EG⊥平面AFC，之后根据面面垂直的判定定理证明平面AFC⊥平面AEC.在第（2）问的解答中，需要以G作为坐标原点，建立相应的空间直角坐标系，利用向量法对其进行求解.

解析：（1）证明：如图2，连接BD，AC，并且交于点G，连接EG，FG和EF.假设GB=1，因为∠ABC=120°，所以能够得出.BE⊥平面ABCD，AB=BC，得出AE=EC.又因为AE⊥EC，所以EG=，EG⊥AC.在Rt△EBG中，能够得出.在Rt△FDG中，在直角梯形BDFE中，由于BD=2，BE=，所以EG2+FG2=EF2，所以EG⊥FG.因为AC∩FG=G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AFC⊥平面AEC.

（3）如图2所示，以G作为坐标原点，以作为x，y轴的正方向作为单位长度，建立相应的空间直角坐标系G-xyz，根据（1）能够得出线AE和直线CF所成角的余弦值是

图2

点评：此题考查的方面非常多，它既考查了学生的空间直线判断能力和异面直线角计算能力，还考查了学生的空间想象能力和推理论证能力.在问题（1）的解答过程中，推理的不严谨很容易造成证明过程出错，导致问题（2）中继续出现错误.因此，在问题（2）的解答中，学生需要对垂直的过程进行全面掌握，明确相关条件，保证解题的准确性.

二、巧妙利用数形结合思想进行解题

例2 （2017年全国卷Ⅲ）a，b是空间中两条相互垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在的直线和a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，下面结论中：①当直线AB和a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值是45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）.

分析：根据题意可知，a，b，AC三条直线是两两相互垂直，可以根据题意构建相应的图形，正方体的边长是1，所以|AC|=1，|AB|=，根据题意进行相应的旋转，得出相应B的运动轨迹是半径为1的圆，以C作为坐标原点，建立相应的空间直角坐标系，进行相应的求解.

解析：由题意知，a，b，AC三条直线两两互相垂直，画出图形如图3所示，假设正方体的边长是1，所以得出|AC|=1，|AB|=，在旋转的过程中，A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，因此，以C点作为坐标原点，如图3构建相应的空间直角坐标系.所以D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量a=（0，1，0），|a|=1，直线b的方向单位向量b=（1，0，0），|b|=1.

图3

假设B点在运动过程中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ是B′C和CD之间的夹角，θ∈［0，2π］.所以AB′在运动中的向量

点评：此题主要考查学生对真假命题的判断能力，对空间中线线、线面以及面面之间的位置关系相关知识的掌握情况，通过此题目的解答能够培养学生的推理论证和运算求解能力，有利于学生空间想象能力的培养.此外，数形结合数学思想的应用，能扩展学生的解题思路，使学生掌握更多的解题技巧，促进学生解题能力和水平的提高.

三、充分利用化归转化思想进行解题

例3（2017年江苏卷）如图4所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台玻璃形容器Ⅱ的高均是32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长度是，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别是14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ注入水，水的深度是12cm.现在有一根玻璃棒l，长度是40cm（.容器的厚度以及玻璃棒的粗细忽略不计）

图4

（1）将l放置在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；

（2）将l放置在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1处，求l没入水中部分的长度.

分析：在对问题（1）进行解答的过程中，假设玻璃棒在CC1上的点是M，并且玻璃棒和水面的交点是N，过N点作NP∥MC，并且和AC交于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，求解出MC的长度，推算出△ANP∽△AMC，进一步的计算没入水中的玻璃棒长度.问题（2）的解答和问题（1）的解答相似，需要对求解的答案进行相应的转化，最后求解出没入水平玻璃棒的长度.

解析：（1）假设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒和水面的交点是N.在平面ACM中，过N点作NP∥MC，并且和AC交于点P.因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，所以CC1⊥平面ABCD，AC在平面ABCD上，所以CC1⊥AC，NP⊥AC，所以NP=12cm，并且AM2=AC2+MC2，解答得出MC=30cm.因为NP∥MC，所以△ANP∽△AMC.所以计算得出AN=16cm.所以玻璃棒l在水中的长度是16cm.

（2）假设玻璃棒在GG1的点是M，玻璃棒和水面的交点是N.在平面EE1GG1中，过N点作NP∥EG，交点是P，过E点作EQ⊥E1G1，交点是Q.因为EFGH-E1F1G1H1是正四棱台，所以EE1=GG1，EG∥E1G1并且EG≠E1G1.所以EE1GG1是等腰梯形，画出相应平面E1EGG1的平面图.因为E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，所以E1Q=24cm.根据勾股定理计算得出E1E=40cm.所以sin∠EE1G1=所以cos，根据正弦定理知cos∠EMG=经过计算得出20cm.所以没入水中的玻璃棒长度是20cm.

点评：此题的解答重点是没入水中玻璃棒长度，它主要是对空间中线面、线线以及面面之间的关系的考察，它能培养学生的推理能力.此外，图形对化归和转化思想的有效利用，能促使学生掌握解题中的要点和技巧，提高学生的解题能力和解题水平.

四、借助一题多解培养学生解题技巧

例4（2017年全国卷Ⅱ）如图5，网格纸上小正方形的边长是1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去后所得，则该几何体的体积是（ ）.

（A）90π （B）63π

（C）42π （D）36π

分析：在对此题进行解答的过程中，需要对图形进行相应的观察，通过观察和想象对几何体进行相应的还原，之后进行相应的解答.

解法一：常规解法.根据图中的三视图能够得知，一个圆柱被一截面截取一部分剩下的部分，对其剩下部分画出图形（图6），从图中进行观察，分析剩下几何图形的形状，那么该几何体的体积可以分成两部分，从图中可以得知，剩下的体积分为上下两部分阴影部分的体积，下面阴影部分的体积是V=Sh，根据r=3，h=4可以得出V1=36π；上部分的阴影部分体积V2是上部分阴影面积V3的一半.根据图中可以得知V2=27π，所以总的体积=V1+V2=63π.

解析二：在解题的过程中，可以对体积进行求解，根据题意知，V3=Sh=54π，然后根据相应的关系对V2和V1进行求解，最后得出总的体积=V1+V2=63π.

点评：在立体几何解题的过程中，存在许多一题多解类型的题目，主要考查的是学生的空间想象力和逻辑推理能力.在三视图和体积的例题中，学生需要通过思维想象，构建相应的数学模型，对题目进行解答.在例2异面直线夹角的求解中，学生需要对立体几何、平面向量以及三角函数等知识进行灵活运用，构建相应的空间坐标系，是解决问题的关键.

图5

左视图图6

五、结语

立体几何是高中数学知识体系中的重要一脉，立体几何具有复杂性和抽象性等特点.对于一些学生来说，立体几何学习具有一定的难度.这就需要教师在教学中采取科学合理的教学方式，引导学生对解题技巧进行掌握.并尽量从平面向量知识、空间直角坐标系构建、数形结合、化归和转化等解题技巧入手，培养学生的一题多解能力，提高学生的解题水平.H