例谈高中数学知识点交汇的解题研究

摘要：随着新课程标准的发布，单元教学提上日程，数学知识教学更加注重整体把握，高考题型不再专注于某一知识板块的考察，更倾向于对各个板块的灵活运用。本文就解析几何这一板块的例题进行解题分析，来探讨数学知识点交汇解题的作用与重要性。希望能够为广大一线教师提供一些可行的解题经验。

关键词：高中数学；解析几何；知识点交汇

1、前言

高考试题中，解析幾何一般出一道选择题，一道大题，有时也出一道填空题，分值大概是17分到22分之间，在高考卷中占有重要地位。在解析几何试题研究中，发现仅有的圆锥曲线知识概念很多时候并不能顺利解出问题，或者步骤烦杂，但是如果从函数角度或者勾股几何角度去考虑问题，反而简便快捷。

2、例谈利用高中数学知识交汇来解题

2.1导数与不等式知识点交汇

例1证明： .

分析：左边是多项式，右边是三角函数，可以考虑利用三角函数的有界性，证明左边的最小值恒大于右边即可。

证明：构造 ，则 .该二次式的判别式 ， ， 是 上的增函数. ， ，而 ， .

点评：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，考虑三角函数的有界性，用 架桥铺路，使问题得解.

2.2解析几何与导数知识点交汇

例2设 是抛物线 的焦点.（I）过点 作抛物线 的切线，求切线方程.

分析：借助导数的几何意义解决本题的切线问题，先设出切点然后写出切线方程，代入点即可解决。

解析：设切点 .由 ，知抛物线在 点处的切线斜率为 ，故所求切线方程为 .即 因为点 在切线上.所以 ， ， .所求切线方程为 .

点评：导数的几何意义为导数与解析几何的结合奠定了坚实的基础，从这个意义上讲，导数也是数形结合的桥梁。

2.3数列与线性规划知识点的交汇

例3设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的取值范围是 .

分析：此题将 看成两个变量，画出可行域，再将 看成在纵轴上的截距，利用线性规划知识解决。

解析：设 的首项和公差分别为 ，

得 ，而 ，

做出图像如下，可得： .

2.4平面向量与函数知识点的交汇

例4设 是非零向量，若函数 的图象是一条直线，则必有（ ）

A. B.

C. D.

分析：将函数的解析式按x的降幂整理即可寻得解题思路。

解析：将函数解析式整理得：

，由题意该函数的图象是一条直线，则其解析式是关于x的一次函数，所以 ，即 ，所以 。

点评：本题是利用“平面向量的数量积是一个实数”这一结论将函数和平面向量有机结合。除此之外，平面向量的坐标运算也是代数式的运算。设 则可利用下列几个公式来建立函数关系式：

（1） ；

（2） ∥

（3）向量内积公式 = ；

（4）两向量的夹角公式 等。

3、运用知识点交汇解题需要注意的问题及教学启示

根据以上几道解析几何题型分析我们发现，圆锥曲线经常涉及其他数学板块知识点，虽然所占内容不多，只是某个环节需要用到，但是这也算是得分不可或缺的重要部分。高考题型考察的知识点越来越全面整体化，这要求教师平常备课讲习题时注意一些新题型，在讲题时注重知识点的交叉串联。让学生在学习解题的过程中发散思维，打破思维定式，寻求多角度多方面看待问题，提高学生的创新能力，灵活运用知识的能力，真正做到把书学活。

参考文献：

[1]黄润福.例谈高中数学“换个角度”解题策略[J].数学教学通讯，2011（30）：45+47.

[2]朱允洲.新课程背景下高中数学解题策略研究[J].理科考试研究，2015，22（11）：20.

作者简介：郑进，女，河南洛阳人河南师范大学2017级学科教学（数学）教育硕士，主要研究方向：中学数学教育与教学。