考虑质量分布影响的双TMD系统控制悬吊结构平面摆振分析

张春巍 刘东升

摘要： 研究了被动调谐质量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）在一种新的安装方式下对悬吊结构平面摆振的控制效果，并考虑悬吊结构质量分布对TMD系统调频的影响。首先基于拉格朗日原理建立了附加双TMD体系双质点悬吊结构的无阻尼自由振动方程，并对质量分布对双质点悬吊结构周期的影响进行了理论分析；然后定义了TMD控制无阻尼自由振动的控制效果评价指标，利用Simulink对运动方程进行数值求解，证明此时TMD对悬吊结构具有一定的控制效果，并对质量分布在TMD调频、质量比与板长摆长比变化情况下对控制效果的影响进行了数值分析，发现控制效果随着双质点的分散而下降的规律，而这种规律与质量比和板长摆长比的变化无关，验证了理论分析中对质点分布影响的推断，并得出TMD应根据悬吊结构质量分布的影响来调频以保证控制效果的结论。关键词： 摆振控制； 平面摆振； 悬吊结构； 调谐质量阻尼器； 质量分布

中图分类号： TU311.3； TB123文献标志码： A文章编号： 10044523（2017）04065406

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.017

引言

被动调谐质量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）是一种被动动力吸振器，传统的TMD由质量、弹簧、阻尼构成，在土木工程振动控制领域有广泛的应用。目前大部分对TMD的研究都集中于其对直线运动形式的控制，如桥梁的竖向振动、高层建筑的横向振动，而关于TMD控制广泛存在的扭转运动的研究则相对较少。对于大跨桥梁来说，其在风荷载作用下的振动包含扭转成分[13]，偏心建筑在地震作用下也会发生扭转振动[45]，目前TMD控制这类扭转的研究其实是一定程度上将扭转运动线性化为双向的直线运动，并没有完全考虑扭转运动形式对于TMD本身运动的影响[68]；对于吊钩、悬索桥、斜拉桥等悬吊结构的摆动，也可以看作绕吊点的扭转运动，TMD对此种转动运动的控制有局限性[9]，且在悬吊结构摆振控制的研究中多将悬吊结构质量简化为单质点或双质点[911]。本文将讨论新安装方式下TMD对悬吊结构平面摆振运动的控制效果并考虑悬吊结构简化计算模型质量分布对TMD调频的影响。

1安装TMD悬吊结构运动建模〖2〗1.1安装切向单TMD悬吊结构运动建模本文的前期工作[9]已通过实验与理论分析证明了TMD沿悬吊结构切向放置时对悬吊结构平面摆振控制无效，现将简化计算模型、运动方程与基于Simulink的数值分析结果展示如下：

设安装切向TMD的悬吊结构体系有2个自由度：悬吊结构摆动角度θ、TMD位移x。图1中l为懸吊结构的摆长，m为悬吊质点的质量，ma为TMD质量，k为TMD弹簧刚度；设ma=μmm，μm为TMD质量与单摆质量之比，ω12=gl，ω22=km。

图1安装切向TMD的悬吊结构示意图

Fig.1Sketch of suspended structure with tangential TMD

切向TMD悬吊结构体系的运动方程[9]为：+kmax=x-l-gsinθ （1）

ml2+mal2+x2+2max+

mgl+maglsinθ+magxcosθ=

-mal （2）取摆长l=9.8 m，初始摆角θ0=0，单摆初始速度v0=π/20 rad/s（9°/s），质量比μm=5%，初始TMD位移x0=0，令ω1=ω2=1。基于Simulink对运动方程进行数值求解，得到体系的时程曲线如图2所示，可以看到，整个运动过程中结构摆角没有衰减，且TMD始终保持静止，未对悬吊结构的摆动起到控制作用。

图2悬吊结构摆角与TMD位移时程曲线

Fig.2Time history of pendular angles and TMD displacement第4期张春巍，等：考虑质量分布影响的双TMD系统控制悬吊结构平面摆振分析振 动 工 程 学 报第30卷1.2安装法向双TMD悬吊结构运动建模

如图3所示，安装双TMD的悬吊结构体系有三个自由度：悬吊结构摆动角度θ、相对于板面的TMD质量块位移x1和x2。图3中λa定义为结构质点到平板中心距离与TMD到平板中心距离a的图3安装双TMD的悬吊结构示意图

Fig.3Sketch of suspended structure with dual TMD

比值。悬吊结构总质量为m，并假设其质量集中于两个质点，设m1=m2=μmm，k1=k2，M1=M2=12m，ω12=gl，ω22=k1m1，μm为TMD与结构的质量之比；定义λl=al为板长与摆长之比。

系统动能与势能的表达式为：T=12m（l2+λaa2）2+

12m11+a2+x1+l22+

12m22-a2+x2+l22 （3）

U=12k1x21+1〖〗2k2x22+mgl1-cosθ+

m1g-x1cosθ-l1cosφ-θ-l+

m2g-x2cosθ+l-l1cosφ+θ （4）根据拉格朗日原理可建立悬吊结构双TMD体系的运动方程：m1（a+1）+k1x1-m1x1+l2=m1gcosθ （5）

m2（-a+2）+k2x2-m2x2+l2=m2gcosθ （6）

mglsinθ+m1g-l1sinφ-θ+sinθx1+

m2gl1sinφ+θ+sinθx2+

m（l2+λaa2）+m1[2l1+2x11+a1+

l21+2lx1+x21]+m2[2l2+2x22-

a2+l21+2lx2+x22]=0 （7）式中φ为l与l1的夹角；，1，2，1，2为沿各自广义坐标方向的速度与加速度。

首先需要检验法向双TMD体系对悬吊结构摆振是否有控制效果。设λa=0，l=9.8 m，ω1=ω2=1，初始摆角a0=0，初始速度v0=π/20 rad/s （9°/s），初始TMD自由垂落（即x10=x20=g/ω22），板长与摆长比λ1=0.5，质量比μm=5%。应用Simulink求解运动微分方程，得到悬吊结构摆角与TMD位移的时程曲线如图4所示，可以看到摆角发生了衰减，证明此时TMD可以起到控制作用。

图4悬吊结构摆角与TMD位移时程曲线

Fig.4Time history of pendular angles and TMD displacement

2λa对控制效果影响的理论分析

由复摆的周期计算公式可知，将实际悬吊结构简化为计算模型时，质量的简化方式会影响悬吊结构的摆振周期，进而影响被动控制装置的调频，一般情况下会根据实际情况将悬吊质量简化为一个或两个质点[911]。为讨论质量简化方式对悬吊结构平面摆振周期及TMD调频的影响，建立悬吊结构简化计算模型（图5）的运动方程，各参数的意义与图3中相同。

图5无TMD的悬吊结构示意图

Fig.5Sketch of suspended structure without TMD

悬吊结构平面摆振动能与势能的表达式为：T=12m（l2+λaa2）2 （8）

U=mgl1-cosθ （9）悬吊结构平面摆振的运动方程为ml2+λaa）2+mglsinθ=0 （10）可以將式（10）化简为+gl（11+λaa/l2）sinθ=0 （11）由式（11）可以看出，悬吊结构摆振周期是随着λa的增大而增大的，因此TMD的调频会受到λa变化（即悬吊体质量分布简化方式）的影响。

3λa对控制效果影响的数值分析

为了定量研究参数变化对控制效果的影响，定义2个控制效果的指标：衰减周期数n=

振动幅值衰减到最小所需的振动周期数 （12）

相对衰减幅值η=maxθ-minθmaxθ×100% （13）图6控制效果指标

Fig.6Index of control effectiveness

应用Simulink求解安装法向双TMD悬吊结构的运动方程（公式（5）～（7）），改变TMD调频方式观察控制效果的变化。

3.1TMD按单摆频率公式固定调频

令TMD按单摆频率公式调频，改变悬吊结构计算模型的λa观察TMD控制效果的变化。设摆长l=9.8 m，ω1=ω2=1，初始摆角a0=0，初始速度v0=π/20 rad/s （9°/s），初始TMD自由垂落（即x10=x20=g/ω22=9.8 m）。

3.1.1质量比μm的影响

固定板长摆长比，设板长a=5 m，研究质量比与λa变化对控制效果的影响。

图7中每个点都代表一种参数情况下摆角时程曲线的控制效果指标，固定λa与板长摆长比变化质量比的一组时程曲线如图8（a）所示，计算每种参数情况下时程曲线的控制效果指标绘成图7。

从图7可以看出，随着λa的增大，衰减周期数的变化不明显，但相对衰减幅值出现了大幅下降，这是因为随着λa的增大，TMD的频率越来越偏离悬吊结构，导致控制效果下降。大量的数值分析结果表明，在板长摆长比取0.1到1.1范围内的其他值时也有相同的规律，因此在这里只取一个值来说明这种规律。

3.1.2板长摆长比λl的影响

固定质量比，设质量比μm=%，研究板长摆长比与λa变化对控制效果的影响。图7质量比对衰减周期数与相对衰减幅值的影响

Fig.7Effect of mass ratio on the number of attenuation period and the amplitude of relative attenuation

图8质量比变化与板长摆长比变化的摆角时程曲线

Fig.8Time history of pendular angles with varying mass ratio and ratio of panel length to pendulum length

同样，图9中每一点都代表一种参数情况下摆角时程曲线的控制效果指标，固定λa与质量比变化板长摆长比的一组时程曲线如图8（b）所示，计算每种参数情况下时程曲线的控制效果指标绘成图9。

图9板长与摆长比对衰减周期数与相对衰减幅值的影响

Fig.9Effect of ratio of panel length to pendulum length on the number of attenuation period and the amplitude of relative attenuation

从图9可以看出，随着λa的增大，衰减周期数的变化并不明显，但相对衰减幅值出现了大幅下降，这一点与图7是相同的，进一步验证了这是因为随着λa的增大，TMD频率越来越偏离悬吊结构频率而使控制效果下降，与质量比、板长摆长比的变化无关。另外，还可以观察到，随着λa的增大即质点的分散，相对衰减幅值峰值对应的板长与摆长比减小，结构越接近于单质点体系，即频率越接近于单质点体系，这也从侧面验证了是频率偏离造成了相对衰减幅值的减小。大量的数值分析结果表明，在质量比取0.1%到100%范围内的其他值时也有相同的规律，因此在这里只取一个值来说明这种规律。

3.2TMD按悬吊结构计算模型实际频率调频

改变悬吊结构计算模型的λa，同时根据λa对TMD进行调频，观察控制效果的变化。设摆长l=9.8 m，ω1=1，ω22=ω12/l2+（λa×a）2l2，初始摆角a0=0，初始速度v0=π/20 rad/s （9°/s），初始TMD自由垂落（即x10=x20=g/ω22）。

3.2.1质量比μm的影响

设板长a=5 m，与3.1.1中相同。

从图10可以看出，质量比改变时，随着λa的增大，衰减周期数与相对衰减幅值均未发生明显变化，控制效果未出现下降，这是因为根据λa变化调整TMD频率后，TMD频率不再偏离悬吊结构计算模型频率。

图10质量比对衰减周期数与相对衰减幅值的影响

Fig.10Effect of mass ratio on the number of attenuation period and the amplitude of relative attenuation

3.2.2板长与摆长的比值λl的影响

设质量比μm=1%，与3.1.2中相同。

从图11可以看出，板长摆长比改变时，随着λa的增大，衰减周期数与相对衰减幅值均未发生明显变化，这与图10的规律相同，进一步验证了这是因为根据λa变化调整TMD频率后，TMD频率不再偏离悬吊结构计算模型频率，与质量比和板长摆长比的变化无关。因此当悬吊结构不能简化为单摆时，被动控制装置应按悬吊结构计算模型实际的频率调频。

图11板长与摆长比对衰减周期数与相对衰减幅值的影响

Fig.11Effect of ratio of panel length to pendulum length on the number of attenuation period and the amplitude of relative attenuation

4结论

本文利用拉格朗日原理建立了悬吊结构法向双TMD体系的运动方程，并通过理论分析与数值分析研究了法向双TMD对悬吊结构平面摆振的控制效果与悬吊结构质点分布对TMD控制效果的影响，得到以下主要结论：

（1） 由于TMD沿悬吊结构运动方向切向放置时对悬吊结构平面摆振无控制效果，将两TMD沿悬吊结构运动方向法向对称放置并建立运动方程，数值分析发现结构摆角会发生衰减，表明TMD安装于悬吊结构运动方向法向并对称放置时对悬吊结构平面摆振是有控制效果的，相关原理也可以应用到摆振运动的测量中。

（2） 理论分析与数值分析结果都表明悬吊结构的质量分布会对悬吊结构摆振频率产生影响，若TMD仍按单摆频率公式调频，计算模型质量分布与单质点的差异越大，TMD与悬吊结构的频率偏离越严重，控制效果就越差，TMD需要根据悬吊结构计算模型的真实频率调频才能保证控制效果。

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Control effect analysis on pendular vibration of suspensory structures with

varied mass distribution controlled by dual TMD systems

ZHANG Chunwei， LIU Dongsheng

（School of Civil Engineering， Qingdao University of Technology， Qingdao 266033， China）

Abstract： This paper has studied the control effectiveness of tuned mass damper （TMD） for the planar pendular vibration and the effect of mass distribution of suspensory structures on TMD tuning. Firstly， the equation of motion for the suspensory structure and dual TMD in planar motion are established based on the Lagrangian principles， and the theoretical analysis of the probable effect of the mass distribution of suspensory structures is presented. Secondly， assessment of TMD control effect is defined. Numerical simulation using Simulink has proven that in this new installing way TMD can control planar pendular vibration. The effect of TMD frequency tuning， mass ratio and ratio of length of panel to length of pendulum in varying mass distribution has been studied by numerical simulation. Numerical simulation has found that control effect decreasing with distributing of the mass distribution and this tendency is irrelevant with varying of mass ratio and ratio of length of panel to length of pendulum. Simulation results proved the deduction of effect of mass distribution in theoretical analysis and came to a conclusion that dual TMD has to be retuned according to the effect of mass distribution of suspensory structures.Key words： pendular control； planar pendular vibration； suspensory structures； tuned mass damper （TMD）； mass distribution作者簡介： 张春巍（1977—），男，博士，教授。电话：（0532）85071693；Email：zhangchunwei@qut.edu.cn