有界完全Reinhardt域上的星形映照

王朝君， 崔艳艳

(周口师范学院 数学与统计学院, 河南 周口 466001)

1 预备知识

单复变函数论中一些基本结论在多复变中的不成立使得人们开始讨论具有特殊几何性质的双全纯映照，例如星形映照与凸映照[1]以及它们的子族.在单复变中要找到具体的星形映照与凸映照及其子族相对容易，而在多复变数空间中却比较困难.1995年Roper-Suffridge算子[2]的引入使得我们可以由复平面上具有某些特殊几何性质的单叶全纯函数构造出多复变数空间中相应的双全纯映照，于是许多学者结合Roper-Suffridge算子讨论了星形映照与凸映照的子族或扩充，证明了推广的Roper-Suffridge延拓算子在不同空间不同区域上保持各类双全纯映照子族的性质[3-8].之前的结论总是讨论各类双全纯映照子族在Roper-Suffridge延拓算子下的几何不变性，而本文却是应用Roper-Suffridge延拓算子通过单位圆盘上全纯函数的某种几何性质讨论n维复空间上相应的双全纯映照的其他的几何性质.

2014年，Liu等[9]将Roper-Suffridge算子推广为

其中,r=sup{|z1|:z=(z1,zn…,)∈Ω,β1∈[0,1],βk∈[0,β1],k=2,…,n}，并证明了推广后的算子在一定条件下保持β型螺形性、α次殆星形性和α次星形性.

本文在文献[9]的基础上给出了一类新形式的Roper-Suffridge延拓算子，借助推广后的Roper-Suffridge延拓算子讨论了α次凸函数、近于凸函数与星形映照之间的关系，最后讨论了算子的偏差.本文中用D表示单位圆盘，JF(z)表示F(z)在z点的Frechet导数.

2 主要结论及其证明

r=sup{|z1|:z=(z1,…,zn)′∈Ω}，

F(z)=((f′(z1/r))β1z1,(f′(z1/r))β2z2,…,

(f′(z1/r))βnzn)′，

若0≤βk≤β1≤1，则F(z)是Ω上的星形映照.

证明由F(z)的表达式得

则

其中

i=2,…,n.

于是由引理1.1得

(1)

若令ζ=z1/r，则ζ∈D.由(1)式及引理1.2得

故F(z)是Ω上的星形映照.

于是定理得证.

定理2.3若f是D上正规化的α次凸函数，F(z)是定理2.1中所定义的函数，则

证明由定理2.1知

(2)

即

又由于f是D上正规化的α次凸函数，则

(1+|z1|)2(α-1)≤|f′(z1)|≤

(1-|z1|)2(α-1)，

(3)

于是

则

由(2)～(4)式得结论成立.

致谢周口师范学院2018年度科研创新基金(ZKNUA201805)对本文给予了资助，谨致谢意!

[1] 龚升. 多复变数的凸映照和星形映照[M]. 2版. 北京:科学出版社,2003.

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