最大类间方差法改进的ECT正则化图像重建算法

孙启国，罗光旺，闫晓丹



最大类间方差法改进的ECT正则化图像重建算法

孙启国，罗光旺，闫晓丹

（北方工业大学 机械与材料工程学院，北京 100144）

电容层析成像作为油气润滑气液两相流参数检测的主流方法之一，其成像系统具有高度不适定性。研究旨在优化能满足油气润滑系统精确度和实时性要求的电容层析成像图像重建算法，以擅长处理不适定问题的Tikhonov标准正则化算法作为电容层析成像图像重建系统的基础算法，并采用最大类间方差法自适应获得的最优阈值对Tikhonov标准正则化重建的图像进行图像分割，达到修正标准正则化算法过度光滑缺点的目的。结果显示，改进后的算法图像误差减小，图像相关系数增大，表明图像精确度明显提升。

电容层析成像；图像重建；正则化；最大类间方差法

电容层析成像（ECT，electrical capacitance tomography）技术是一种过程层析成像技术，原理是电容敏感机理。电容层析成像以多相介质具有不同介电常数的物理性质为依据，采用电容传感器阵列构成周转的空间敏感场，从不同的观测角度来扫描包含多种不同介电常数的工业容器或管道内的流体，获得被测物场介电常数的分布状态，采用合适的图像重建算法显示被测物场的二维或三维混合介质分布图像[1]。因为电容层析成像系统拥有非线性特点，且只能得到数量有限的独立电容测量值，重建图像的像素个数远大于独立电容数量，导致反演问题不能得到解析解，同时由于本身具有非线性和“软场”效应，即分布不均匀的敏感场灵敏度导致ECT系统只能得到稳定性较差且存在严重病态性的解，因此图像重建过程难度较大[2]。

目前用于ECT图像重建的方法主要有线性反投影（LBP）算法、Landweber迭代法和Tikhonov正则化等[3-4]。LBP法算法结构较简单，成像速率快，但因为该算法存在一些不合理假设，如假设成像区域的介电介质分布不对电容灵敏度分布造成影响以及被测电容的相应变化都是由于整个成像区域的介电常数与灵敏度值成比例的变化导致的，所以该算法重建的图像精度较低；Landweber迭代法理论上沿最速下降方向进行搜索得到最优解，然而最速下降方向只是迭代速度最快的方向并不是最理想的搜索方向，同时Landweber 迭代法本身具有半收敛性，当图像误差达到最小点后会错误地继续迭代，因此可能最终导致迭代发散；Tikhonov正则化算法能够得到ECT逆问题的近似稳定解，正则函数采用二范数形式虽然能保证重建过程趋于稳定，但是重建图像进行一定程度的平滑会致使部分的边界信息丧失，故这类算法在介质边缘处重建效果不理想。本文提出了采用最大类间方差的正则化图像重建算法，有效克服了Tikhonov正则化缺陷[5]。

1 ECT图像重建基本原理

电容层析成像分为求解正问题和求解逆问题两方面。ECT系统的正问题就是由已经确定的介电常数分布，求电容敏感阵列各对电极极板间的电容值；逆问题则是通过测量得到的电容值反演出被测管道截面的介质分布情况[6]。

在ECT系统中，电容传感器阵列各对极板组合的电容值C与被测管道内介电常数分布(,)间的关系可以表示为：

式中：为被测管道截面；ε(,)为极板间电容C对应的灵敏度分布函数；(,)为被测管道截面的介电常数分布。

对式（1）进行离散化、线性化和归一化处理，可将ECT图像重建模型简化为：

式中：为×1维的归一化电容测量值矩阵；为×1维的归一化介电常数分布矩阵，在图像重建中代表图像灰度值；为×维的灵敏度矩阵。

ECT逆问题的求解是在已知和的条件下如何快速、有效地求解式（2）中的。一般情况下远大于，因此该问题的求解过程本质上属于病态问题，其解具有高度不适定性。

2 最大类间方差法改进的正则化算法

2.1 Tikhonov正则化

ECT系统的图像重建是通过测量得到的电容值求取管道内介电常数分布的过程，且测量电容值数目少于重建图像像素数目，该过程属于第一类Fredholm方程求解的过程。第一类Fredholm方程属于病态方程，正则化方法是解决病态方程求解问题最常用的方法，ECT的图像重建单元使用正则化算法比较成熟[7]。

Tikhonov正则化步骤即构造目标函数、求目标函数极小值的过程：

式中：为正则化因子，＞0；||||2为稳定泛函。

式（3）左右分别对求导得：

标准Tikhonov正则化理论基础研究较为深入，该方法能够得到病态问题的近似稳定解，由于最终表达式为矩阵相乘形式，因此图像重建速度较为理想，但是该方法正则化函数为二范数形式，二范数会导致最终产生一个过于光滑的近似稳定解，为使图像重建过程趋于稳定丧失了不光滑信息，图像空间分辨率能力不高。

2.2 最大类间方差法改进的正则化算法

为了解决Tikhonov正则化算法所获得的质量差的图像分辨率问题，本文提出最大类间方差法改进的正则化算法进行图像重建。由于正则化算法能得到逆问题近似稳定解，所以选择Tikhonov正则化算法为基础算法进行改进，同时最大类间方差法能自适应地获取图像最优阈值，具有图像分割功效，因此选择最大类间方差法作为改进依据。

最大类间方差法是一种自适应的阈值确定方法，是利用类别方差作为判据，选取能使类间方差达到最大的灰度值作为最佳阈值[8]。

本文以Tikhonov正则化算法重建的图像为基础，背景设定为油气润滑管道内部的空气分布，目标设定为润滑油分布，采用最大类间方差法获得油气两相介质错分概率最小的灰度滤波阈值。并通过该灰度阈值对重建的图像进行滤波处理，边缘处润滑油和空气分割明显。

重建图像像素的灰度值分布归一化并取整到1～级，灰度级为的像素个数为n，则图像总像素数目为：

通过灰度值为的门限将重建图像像素点划分为两类：0（空气）和1（润滑油），0表示灰度级为[1～]的像素点，1表示灰度级为[～]的像素点。设0为0出现的概率，1为1存在的概率，0为0的平均灰度级，1为1的平均灰度级，为总平均灰度，2为0和1的方差，则：

由于有：

联立式（12）和式（13），得：

或：

值遍历灰度级1～，得到2()最大值时的值，记为k（最优阈值）。

使用最优阈值k对Tikhonov正则化重建的图像像素点处的灰度值进行过滤操作：

式中：()为使用Tikhonov正则化重建的图像第个像素点处的灰度值；*()为第个像素过滤后的灰度值；为图像像素个数。

3 仿真结果分析

为了验证最大类间方差法改进的Tikhonov正则化算法的有效性，采用ECT仿真的方法对LBP算法、标准Tikhonov算法和最大类间方差法改进Tikhonov正则化算法重建的图像质量进行比较分析。

如图1～图3所示，仿真背景是8极板油气润滑ECT测试系统，其中电容极板张角为42°，极板厚度为0.2 mm，管道内径10 mm、管道外径12 mm，屏蔽罩直径14 mm，激励电压5 V，油介电常数2.8，气介电常数1。油气环状流是油气润滑中油气两相流的存在形式，而且油气润滑工况下环状流厚度一般小于0.5 mm，因此仿真流型分别设置油膜厚度为0.2 mm（模型1）、0.3 mm（模型2）、0.4 mm（模型3）的环状流模型。成像时使用comsol模型的网格坐标和网格数据。

图1 模型1的图像重建结果图

本文采用图像误差（IME）和图像相关系数（CORR）作为评价指标对图像重建质量进行评价。

IME值越小、CORR越大，说明重建的图像质量越好。从表1中可知，无论针对哪种模型，采用最大类间方差法改进的Tikhnov正则化算法重建的图像误差最小，相关系数最大。

图2 模型2的图像重建结果图

图3 模型3的图像重建结果图

4 结论

电容层析成像图像重建算法优劣性主要取决于算法的速度和精度，本文以标准Tikhonov正则化图像重建算法为基础保证了图像重建速度，针对标准Tikhonov正则化算法因过度光滑的特性无法保证重建图像精度的问题，提出了一种采用最大类间方差法改进的Tikhonov正则化算法，该算法在Tikhonov正则化图像像素点灰度值基础上获得油气两相错分率最小的阈值，使用该阈值对Tikhonov正则化重建的图像像素点灰度值进行过滤处理，重建图像与原图像的图像误差减小，图像相关系数增大，图像质量明显提升。

表1 三种图像重建算法的IME和CORR

[1]王化祥. 电容层析成像图像重建的总变差正则化算法[J]. 仪器仪表学报，2007（11）：2014-2018.

[2]王莉莉. 基于改进信赖域的电容层析成像图像重建算法[J]. 仪器仪表学报，2010，31（05）：1076-1081.

[3]颜华. 不采用灵敏度矩阵的ECT图像迭代重建[J]. 沈阳工业大学学报，2008（04）：457-460.

[4]赵玉磊. 电容层析成像技术的研究进展与分析[J]. 仪器仪表学报，2012，33（08）：1909-1920.

[5]王化祥. 基于TV 正则化算法的电容层析成像自适应剖分方法[J]. 电子测量技术，2006（05）：8-11.

[6]李翠环. 电容层析成像图像重建中正则化算法的研究[D]. 天津：河北工业大学，2012.

[7]陈至坤. 基于正则化的LANDWEBER电容层析成像图像重建算法研究[J]. 电子测量技术，2007（10）：61-63.

[8]杜奇. 一种改进的最大类间方差法[J]. 红外技术，2003（5）：33-36.

Improved ECT Regularization Image Reconstruction Algorithm with the OTSU

SUN Qiguo，LUO Guangwang，YAN Xiaodan

( Mechanical and Materials Engineering College, North China University of Technology, Beijing 100144, China)

Electrical capacitance tomography is one of the mainstream parameter testing methods for gas-liquid two-phase flow. Its imaging system is highly ill-posed. This study aims to optimize the image reconstruction algorithm of electrical capacitance tomography that can meet the accuracy and real-time requirements of oil-gas lubrication system. The Tikhonov standard regularization algorithm is good at dealing with the ill-posed problem. Taking it as the basic algorithm of the electrical capacitive tomography image reconstruction system, the optimal threshold value is adaptively obtained by OTSU to perform image segmentation on the reconstructed image by the Tikhonov standard regularization algorithm, revising the drawback of being excessively smooth caused by standard regularization algorithm. The results show that the improved algorithm reduces the image error and increase the image correlation coefficient. Image accuracy has been significantly improved.

electrical capacitance tomography；image reconstruction；regularization；OTSU

TB11

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.05.003

1006－0316 (2018) 05－0010－05

2017－11－24

北京市属高等学校人才强教计划项目（PHR201107109）

孙启国（1963－），男，山东烟台人，博士，教授，主要研究方向为摩擦学与工业润滑技术、机械系统动力学及其控制。