《卫星通信》教学中关于开普勒三定律的探讨

吴琼 李正权 高美凤 刘洋 张翠

摘 要：本文根据嫦娥一号卫星围绕月球运转时的计算结果和实际测量结果，验证了卫星围绕月球运动时不满足开普勒三定律，并分析了卫星围绕月球（和其他星球）运转不满足开普勒三定律的原因，由于开普勒三定律由运动学理论和卫星围绕地球运转时所受地球万有引力推导而得。

关键词：开普勒三定律；运动学；万有引力定律；卫星通信

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.10.221

在《卫星通信》教科书中有以下定理，卫星围绕地球运动时由于受重力吸引而满足开普勒三定律[1][2][3][4]。本文首先叙述了开普勒三定律，然后计算结果表明嫦娥一号卫星围绕月球运转时不满足开普勒三定律，并根据万有引力定律和运动学理论分析了原因。

1 开普勒三定律

第一定律：卫星沿着以地心为一焦点的圆锥曲线的轨道运动。该轨道的平面极坐标表达式为：

公式（1）中e为偏心率，p为半焦弦，它们均由卫星进入轨道时的初始状态所决定，e满足，这时轨道一般为椭圆形轨道（仅当e=0时为圆形）[1][2][3][4]。

第二定律：卫星的位置矢量在单位时间内扫过的面积一定。也就是说，r绕地心转动时所扫过的面积A对时间的变化率保持为常数，即：

从公式（2）可以看出：r较小时，卫星绕地心飞行的角速度就较高；r较大时则反之。如卫星作等速飛行，则r不变，轨道为圆形[1][2][3][4]。

第三定律：卫星运转的周期T与轨道的半长轴a的3/2次方成正比[1][2][3][4]，即：

2 例题解析

例1. 嫦娥一号卫星距月面高度约200km、周期为 127min的圆轨道上运行，速度为每秒1.59km。嫦娥一号卫星重量m=2350kg， 月球半径R=1738km，月球质量为M=7.35×1022kg。试验验证卫星的运行是否满足开普勒三定律，开普勒常数=398613.52km2/s2。

很显然公式（4）和（5）得到的计算结果与地面测控系统所测周期为 127min，速度为1.59km/s不相符，故不满足开普勒三定律。

3 原因分析

从上面例1可以看出，当卫星围绕月球（或其他星球）时，不再满足开普勒三定律。下面根据万有引力定律对这种现象做出分析。假设嫦娥一号卫星距离地球表面和距离月球表面高度都为200km的圆轨道上运行，根据万有引力定律有：

根据运动学理论，由向心力公式F=mv2/R可知，卫星的运动速度与引力和半径成正比，当引力和半径越大，则速度越大。很显然上面两式中F1>F2，h+RE>h+R1，换句话说卫星在离地面和月面高度相同的圆轨道上运行时，地球对卫星的引力要大于月球对卫星的引力。而卫星距地心的距离要大于卫星距月心的距离，所以这种情况下卫星围绕地球的运转速度要大于围绕月球的运转速度。由于开普勒三定律是由运动学理论和卫星围绕地球运转时所受地球万有引力推导而得，所以开普勒三定律只适用于围绕地球运转的卫星，不适用于围绕月球（和其他星球）的卫星，要加上适当的修正系数才能适用。

4 结束语

在《卫星通信》教学中，卫星围绕地球运动时由于受重力吸引而满足开普勒三定律，而卫星围绕月球运动时不满足开普勒三定律。本文根据嫦娥一号卫星围绕地球运转和围绕月球运转时的计算结果和实际测量结果进行了验证，并分析了卫星围绕月球（和其他星球）运转是不满足开普勒三定律的原因。

参考文献：

[1]吴诗其，李兴.卫星通信导论[M].北京：电子工业出版社，2002.

[2]原萍.卫星通信引论[M].沈阳：东北大学出版社，2007.

[3]吕海寰，蔡剑铭，甘仲民，陈久治.卫星通信系统[M].北京：人民邮电出版社，1993.

[4]Dennis Roddy.卫星通信[M].Satellite Communications（第三版）（英文影印版），北京：清华大学出版社，2011.

作者简介：吴琼（1986-），男，江苏徐州人，博士，讲师，研究方向：车载网络。