对两类具有无穷时滞的非稠脉冲中立型随机微分方程解存在性的对比研究

侯婷婷

摘要：本文主要针对两类具有无穷时滞的非稠脉冲中立型随机泛函微分方程解的存在性证明方法进行对比研究.通过对方程的对比，约束条件的对比，以及证明方法的对比，进一步加深对Sadovskii不动点原理和逐渐逼近法地认识.

关键词：随机泛函微分方程；脉冲方程；fBm运动；非稠定算子

对比发现：从整体上来看，方程（1）中的约束条件更具体，更详细.先是对f，g的对比，我们发现两个函数都是被一个非降的连续函数来控制他们的上界，这就为接下来证明连续性做好了铺垫.之后是函数σ（·），因为函数变量地减少，使得其范数在文献[2]中可以直接被正数L控制.最后是方程（1）中的条件（H5）和（H6），两者都是对函数列Ik，的约束，但是，两个条件并不是同时成立.也正是因为约束的标准不一样，所以在接下来的证明过程中[1]体现了两种不一样的证明思路.

而较之方程（1），方程（2）的条件从整体上来看则较为简练，对函数f，g的约束则更为直接.其中函数f直接被一个不增的紧函数H所控制，函数g则更为直接地省略掉一个放缩条件；方程条件的不同直接决定了在接下来证明解的存在性过程中所采用的证明方法也不尽相同.

2.3 证明方法不同

根据约束条件，方程（1）的证明用的是Sadovskii不动点原理，之后通过定理（3.1）和定理（3.2）分别说明了解的存在性.但是对比这两个定理會发现两者有着异曲同工之妙.同的是都是利用不动点原理，所以基本思路和证明方法一样；不同的是，正是因为函数列Ik，的不同，在[1]中定理（3.1）用的是条件（H1）-（H5），而定理（3.2）用的是条件（H1）-（H4）和（H6），Ik的不同导致在同一个算子Φ的作用下，在定理（3.1）中被作为压缩算子来证明，而在定理（3.2）中被作为全连续算子来证明.由此可见约束条件的重要性：即便是对同一函数的约束，因为约束条件的不同，最终也会导致证明过程出现极大不同.更不用说，当函数f，g以及σ都不同时，这会直接决定证明方法出现本质地改变.

方程（2）则是利用逐渐逼近法来证明该系统解的存在性.因为函数f，g不再被连续函数控制，使得在证明方法上我们直接摒弃了方程（1）的方法.转而在[2]的证明中，首先构造出一个迭代序列然后分两步证明解的存在性.第一步证明是有界的；第二步证明是柯西列，最后得出结论.

3 结束语

在证明随机微分方程解的存在性过程中，不动点原理和逐渐逼近法是常用的两个证明方法，但是具体采用哪个方法关键要仔细分析方程和约束条件的特点，再结合不动点原理和逐渐逼近法所要满足的要求，准确地选择证明方法才会达到事半功倍的效果.

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