从圆锥曲线的一个性质到“三等分角”

安徽省安庆一中 (246004) 陈贤清

用尺规三等分角与倍立方问题、化圆为方问题并称为古代三大几何难题，直到19世纪，其不可能性才被伽罗华的方程论证明.但借助于其他曲线，人们却可以利用尺规来三等分角，如借助阿基米德螺线，帕斯卡蜗线(蚶线)，尼科梅德斯蚌线等.本文我们借助双曲线来三等分角.先看一个题目.

图1

题目A，B是双曲线C：x2-y2=a2(a>0)的左右顶点，P是双曲线C右支上除顶点外的任一点，∠APB=2∠PAB，则∠APB=( ).

A.15°B.30°C.45°D.60°

分析：本题初看无从下手，注意到圆锥曲线的一个性质：

图2

拓展1 如图2所示，已知两定点A(-c,0),B(2c,0)(c>0)，平面上动点M满足∠MBA=2∠MAB，求动点M的轨迹方程.

也就是说，将三角形的角度换了一个位置，满足条件的轨迹是双曲线.

更有意思的是，利用这个双曲线，我们还可以解决“尺规法三等分角”的问题.

图3