引导学生观察问题 培养学生解题能力

广东梅州市大埔县虎山中学 (514299) 江中伟

在数学学习中，观察是一种很重要的思维活动，要想学好数学，首先要学会观察.观察的对象可分为两类：一类是用符号、字母、数字所表示的或文字所表示的数学关系式、命题或问题；另一类是图表、图像、几何图形.观察是解题的基础，是思维的起点.因而在数学例题教学中，培养学生勤于观察、善于观察的良好习惯，对提高学生的解题能力、数学素质十分重要.现结合本人的教学实践，谈谈在例题教学中如何引导学生进行观察，培养数学能力的.

一、引导学生观察题设和结论的特征——培养学生解题能力

在数学例题教学中，教师引导学生通过对题目中的条件和结论特征的仔细观察，可以建立起联系它们的桥梁，从而由已知通向未知.这是解题常使用的一种观察方法.

例1 若a+b-c=0，证明直线系ax+by+c=0恒过一定点.

分析：观察条件式和直线系方程的形式，并加以比较，然后分别将直线系方程和条件式变成-ax-by-c=0①,-a·(-1)-b·(-1)-c=0②

对照①、②，发现点(-1,-1)在直线上，故知直线系恒过定点(-1,-1).

二、引导学生观察命题式子结构特征——培养学生解题能力

在数学解题中，有些数学问题，一时难以观察到某些特征.但是如果教师引导学生对问题稍加分析，使得对某些特征初有感知，然后再根据其特征，应用这些已知条件去寻找解决问题的思路，常可找到解题的捷径.

分析：此题一时无从下手，仔细观察条件中自变量的取值特征，联想到数列求和的“倒序相加法”，便可获得下述简捷解法.

三、引导学生观察命题相应的图像(图形)特征——培养学生解题能力

图像(图形)是数学学习中不可或缺的重要组成部分，在各种考试中都有和图像(图形)有关的一些问题出现，而这类问题却是教学中的薄弱部分，主要是学生不善于通过直观的图像(图形)来观察思考问题.所以教师引导学生学会对图像(图形)的观察是学好数学的重要组成部分.

例3 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像(如图)，则 .

(A)b∈(-∞,0) (B)b∈(0,1),

(C)b∈(1,2) (D)b∈(2,+∞).

分析：这是一道创新试题，有利于培养学生阅读图像获取信息的能力.教师引导学生对图1进行观察，可以获取各种有价值的信息，形成以下两种思路：

思路1：由此题的函数图像可以联想到高次不等式时所用的图像法.

∵a>0,x1、x2、x3为图像与X轴的交点,x1=2,x2=1,x3=0.∴ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a(x-2)(x-1)(x-0),∴f(x)=ax3-3ax2+2ax,∴b=-3a<0.故选(A).

思路2：函数f(x)的图像过原点，即f(0)=0，得d=0，又因为f(x)的图像过点(1,0)，得f(1)=a+b+c=0…①,由图像得f(-1)<0，即-a+b-c<0…②,由①+②得2b<0，∴b<0，故选(A).

四、引导学生观察题设有无隐含条件——培养学生解题能力

当解决某些问题感到“条件不够”或“无从下手”时，教师要引导学生特别注意深入观察是否还有隐含条件没有挖掘.

例4 下面这道填空题因印刷原因造成横线上的内容无法认清，现知结论，请在横线上填写原题的一个条件.

五、引导学生观察能否变换代用公式——培养学生解题能力

有些命题的式子，初看似乎不能代用公式，教师引导学生通过变换观察，发现可以代用公式，从而解决问题.

tan40°.

分析：初看20°和40°都是非特殊角，似乎不能求值.但教师引导学生观察注意到20°+40°=60°，从而联想到两角和正切公式的变形，易得.因此

原式=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+

在解决此题后，让学生完成下列各题.

六、引导学生观察命题的整体结构——培养学生解题能力

在例题教学中，有的学生往往只观察到问题的一个方面而忽视整体，从而无法解决问题.在进行观察时，教师要引导学生从整体中看部分，从部分中把握整体，才能真正抓住问题的关键，从而达到意想不到的效果.

七、引导学生观察问题的极限情形——培养学生解题能力

数学问题的表现形式是多种多样的，在有些情况下不利于我们对问题的解决作出判断，而此时教师引导学生考虑利用与已知问题等价的某种特殊形式来思考分析，这就是一种极限观察问题的方法.

(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4.

(C)2.5<λ≤3.5 (D)3.5≤λ<5.5

分析：若此四面体是正四面体，则λ=4，否则λ<4;若此四面体的高(相对于某一面)无限接近于0时，λ→2，否则λ>2,故选(A).

例8 在正n棱锥中，相邻两个侧面所成的二面角的取值范围为( ).

因此在数学教学中，通过不同的观察，可以得到许多有效的解题途径.如果在教学中教师能有目的地引导学生观察分析问题，长此以往，必能提高学生的解题能力和数学素养.