巧用数形结合解最值与范围问题

河南大学数学与统计学院 (475001) 卢 阳

最值与范围问题作为高考常考题型，分布在函数、线性规划、不等式、向量等问题中，具有较强的综合性.数形结合的运用往往可使这些问题变得更直观、简捷，并可以很好地考察学生知识间的建构情况，下择数例说明之.

一、函数问题中的数形结合

函数中的最值和范围问题通常采用求导、判别式法、直接观察法、换元法等.但一些问题用常规方法不易或不能处理，此时如能找到函数的几何意义，往往会迅速找到解题思路.

图1

点评：该题使函数最值问题转变为简单的几何问题，让学生感受到数形结合的魅力，提高学生对此方法的兴趣，减少学生对难题的畏难心理.

图2

图3

点评：此类问题在高考中经常出现.该题从不同角度进行数形结合.引入了具有良好的代数与几何性质的圆和具有数与形于一体的向量，使学生体会到如何思考和解决以形代数的问题.我们要借助此题引导学生形成数形结合的观念.

二、线性规划中的数形结合

线性规划问题常见模型有斜率型、点到直线距离型、两点间距离型，但在中学阶段还可以有很多其他类型的线性规划问题.接下来，我们看两例结合圆锥曲线的线性规划问题.

图4

图5

分析：此题和上题一样，可行域很容易确定.但目标函数不常规，观察x2+2y2，令k=x2+2y2，可以看出这是一个中心在原点的椭圆.

点评：例3、例4为求圆锥曲线类的目标函数的线性规划问题，巧妙的将学过的几个圆锥曲线融合到该类问题，可以培养学生的观察和探索能力，并让他们感受到知识点之间的联系.

三、向量问题中的数形结合

向量是具有“数”与“形”于一体的数学概念，是各个知识点联系的桥梁.我们在解决向量问题时，合理运用数形结合思想，可以使抽象问题直观化，从而降低问题难度.

图6 图7 图8

点评：该题以常见的数形结合模型向量为载体，考察圆心距、向量垂直有关知识.其中由向量垂直想到圆是常见的思维过程，应该多加注意.

四、求参数范围中的数形结合

求参数范围是导函数问题中的常考题，一般可采取分离参数法、分类讨论、数形结合.简单问题用前两种方法很好处理，但复杂问题分离参数后计算量较大，且需要利用洛必达法则.如若可以将复杂函数分解成两个简单函数，再利用数形结合，会降低解题难度，使问题很好解决.

例6 已知函数f(x)=x|x-a|+(a-1)x-2有三个零点，求a的取值范围.

分析：观察此题发现用分离参数法需要分类讨论，比较麻烦.如果分离函数并运用数形结合将会大大加快解题效率.

图9

点评：此题采用分离函数法，将复杂问题变成两个简单函数的问题，大大减少了计算量，并且说明起来很方便.在此类问题中数形结合往往可以起到关键作用，应多加体会.

五、小结

通过以上几例，我们发现数形结合在高中数学的很多模块都起着不可或缺的作用，可以加快解题速度，降低思维难度.更重要的是，能够培养学生的思维灵活性，提高对数学的兴趣.教师在教学中应该鼓励学生运用数形结合来解决问题，并应该有意培养学生数形结合思想，形成对常见图形的敏锐直觉，使之内化到他们的知识体系中.

[1]魏芳.数形结合,让数学学习更有意义[J].教学与管理,2012,(32):33-34.

[2]陈玉娟.数形结合思想贵在“结合”——一类问题错解引发的思考[J].数学通报,2012(10):38-41.

[3]刘骁.探究在参数取值范围中数形结合法的惯用技巧[J].文理导航·教育研究与实践,2016,(11):151-152.