不同边界和初始条件下非饱和软土路基一维固结

阴 可，姚舜禹，顾洋洋，姜道旭

(1. 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室(重庆大学), 重庆 400030； 2. 重庆大学 土木工程学院, 重庆 400045)

0 引 言

我国道路交通网络遍布全国各地，现在以及将来也陆陆续续有很多道路工程在全国范围内实施。近年来，软土路基病害时有发生，引起众多学者对软土路基的关注。软土路基一般由天然含水量高、扰动性大、透水性差、孔隙比大、压缩性高、抗剪强度低的细粒土构成，通常在地表层附近的软土路基多为非饱和土，目前对于非饱和土的研究相对较少。在实际工程中的软土路基都采用饱和土沉降理论来预测路基的沉降和固结，比如Terzaghi有效应力原理，Biot固结理论[1]等。

非饱和土是固、液、气三相介质，与饱和土之间相比物理力学性质更复杂。非饱和软土这类问题最早开始引起关注是在20世纪60年代在伦敦举办的土力学相关的国际会议上。随后A. W. BISHOP[2]根据Terzaghi的饱和土有效应力原理类比提出了一种以基质吸力为变量的非饱和土有效应力计算公式，这个公式理论上成立，但是很多地方不满足非饱和土的性质，比如非饱和土的抗剪强度[3]，饱和度[1]和湿陷性等。1990年,E. E. ALONSO等[4]提出的非饱和土的BBM模型(Barcelona basic model)，能够描述非饱和土的屈服应力、吸力和湿陷等之间关系，成为非饱和土的经典模型。1993年，D. G. FREDLUND等[5]发表《非饱和土力学》，在之前非饱和土理论上加入净应力为变量推导出非饱和土一维、二维和三维固结理论，双变量理论概念简单易懂，也能反映非饱和软土很多基本特性。随后1995年第一届国际非饱和土会议在巴黎召开，一直到2013年，多届非饱和土力学相关会议在国内召开，推动了非饱和土的研究进程。近几年非饱和软土理论进一步发展，沈珠江[6]在假设孔隙气排气率为常量的基础上推导出非饱和土的简化固结理论，但是假设条件有待进一步探讨；秦爱芳等[7]推导出了均布瞬时加载条件下的一维固结解析解；周万欢等[8]采用差分法分析非饱和土固结初始和边界条件对固结过程的影响；L. HO等[9]采用特征函数法和Laplace变换推导出简化的非饱和土一维固结沉降公式，对于多种边界和初始条件都适用；J. A. BLATZ等[10]通过在非饱和土三轴试验中控制吸力，得到了一种非饱和土弹塑性本构模型。

由于非饱和土渗透性差，固结时间长，土的变形模量小，所以不能忽视在长期固结过程中的蠕变效应，笔者针对蠕变效应提出非饱和土的非线性黏弹性的本构模型，并由此本构模型推导出软土路基长期沉降的理论公式。

1 软土的非线性黏弹性蠕变模型

软土路基在工后受到自身重力和上部车辆荷载的作用下，需要较长的时间才能完成固结，在这个过程中，固结会伴随着蠕变的发生。为了考虑这一现象，将Kelvin蠕变模型与Duncan非线性弹性模型串联构成一个非线性黏弹性模型，来模拟土骨架的本构关系[11]，模型的结构如图1。

图1 非线性黏弹性模型示意Fig. 1 Nonlinear and viscoelastic model

令土体有效应力与应变之间的弹塑性刚度矩阵[Dnew]=[Cnew]-1，该模型在平面应变条件下的应力应变关系方程[11]为

(1)

式中：[A]为系数矩阵；[Cnew]为弹性柔度矩阵；ηε=E1/η，η为黏滞系数；E1为黏弹性模量，其大小按式(2)确定：

(2)

(3)

(4)

式中：k1、ηt为该模型的参数；patm为大气压力；Et、vt为Duncan-Zhang模型中的非线性弹性参数，可通过软土三轴排水试验测得，也可以通过压缩和剪切常规试验参数求得近似值。

一维条件下，此本构模型可简化为

ε=CDKσ′

(5)

2 固结-蠕变耦合方程推导

在方程推导过程中，为了使问题简化，假设土体是均质的各向同性体，符合小变形假设，土颗粒和水是不可压缩的。在计算时不考虑气体在水中的溶解，即如果气体在压力的作用下溶解到水中，在压力解除后气体会逸出恢复原有状态。水和气体在压力梯度下的运动分别符合Darcy定律和Fick定律。相对于路堤来说，路基的宽度无限大，在路堤范围内作用均布荷载q。由于荷载和模型的对称性，水平方向不存在变形，可简化为一维固结问题来分析。

Bishop的非饱和土有效应力公式为

σ′=σ-[χuw+(1-χ)ua]

(6)

式中：σ′为非饱和土的有效应力；ua、uw分别为非饱和土孔隙内的空气压力和水压力；χ为与饱和度有关的经验参数。

当土颗粒不受外荷载作用时，可得土的总体平衡方程：

-σ′=χuw+(1-χ)ua

(7)

一维条件下土体变形的几何方程为

(8)

式中：Xz为土体的竖向位移增量。

结合式(1)、式(4)和式(5)，可得

(9)

根据孔隙气体和孔隙水的动量平衡方程和运动方程，可得非饱和土的孔隙水和孔隙气体的控制方程[1]为

(10)

其中：

A1=Sr-α1n0;A2=β1n0；K1=Kf/γf;K2=Kg/γf；B=n0(1-Sr)/pg0+β1n0

式中：Sr为土层的饱和度；n0为土体的初始孔隙率；α1和β1为材料参数[1]，由试验测定；γf为气相真密度；Kf、Kg分别为渗水系数和渗气系数。

非饱和土的饱和度是随着时间变化的一个变量，但在每个单位时间的计算中可近似认为其为一个定值。式(9)与方程组式(10)组成了非饱和土蠕变-固结的封闭方程组，可以求出Xz、ua、uw3个未知数。

假设非饱和土土层厚度为H，任意竖向位置为z。路堤在修筑的过程中一般采用分层填筑的方法逐步完成加载。将路堤的自重等效为均布荷载q(t)，作用在路基的上表面。为了考虑施工过程，假设路基的上表面作用的荷载是随时间变化的：

q(t)=q0[1-exp(-b·t)]

(11)

式中：q0为修筑完成后路堤的自重；b为调整完成时间的荷载参数。

将式(9)加入荷载边界条件：

(12)

式(12)对时间t求导后代入式(10)，可得到关于uw(z,t)和ua(z,t)的二阶偏微分方程组：

(13)

式中：

借助数值计算软件由方程(13)可解得ua和uw在不同时刻和不同深度处的数值解，再将数值解代入方程(12)解出路基沉降Xz的数值解。

3 工程实例验证

为了验证理论的适用性，笔者选择武英高速公路第06合同段K59+710断面[12]作为工程算例，并与Plaxis数值计算结果和实际观测结果进行对比。其中数值模拟计算模型如图2，为了更好地模拟软土层的固结过程，在路堤填土下方的软土层中添加间距为2 m的排水线。理论计算中设置荷载参数q0=125 kN/m,b=-0.02。根据该试验的观测资料可以获得各土层的物理、力学性质指标[13]，再根据詹美礼等[14]、陈正汉等[15]的相关试验文献可以得到相应的土层蠕变计算参数和固结计算参数，见表1。

图2 软土路基示意Fig. 2 Simplified calculation of subgrade

参数亚黏土1淤泥质黏土亚黏土2e0.9030.7620.863a/MPa-10.5450.4960.370K500100450n0.6500.4000.650Rf0.8500.8000.850c/kPa-112225φ/(°)27.023.131.0ηe/d-11.291.101.28χ0.880.910.77α11.4041.4241.229β1/kPa-14.85×10-33.18×10-31.49×10-3K1/(cm2·s-1·kPa-1)1.85×10-42.50×10-41.85×10-4K2/(cm2·s-1·kPa-1)4.47×10-35.28×10-34.47×10-3

计算时将时间间隔Δt设置为10 d，最终计算到t=600d时的沉降量。理论方法得到的不同深度处的沉降结果和3种方法得到的沉降值对比如图3。

图3 路基中心各层荷载-沉降-时间曲线Fig. 3 Relation between settlement load and time in center of subgrade

从图3可以看出，当荷载保持不变时，路基仍然产生了一定的沉降变形，这是软土的蠕变现象。理论计算结果所得的最终沉降值与数值模拟结果、观测数据基本一致，由此可以证明理论方法的正确性。总体来说，此方法能够将传统的非饱和土固结沉降计算方法进行改进，考虑到土体的固结-蠕变耦合作用，特别是针对非饱和软土路基具有很好的适用性。

4 边界条件与初始条件对非饱和土固结的影响

4.1 边界条件对非饱和土固结的影响

在求解非饱和软土路基固结沉降时，需要给出偏微分方程组的边界条件。边界条件可以根据工程的具体情况而变化，但一般情况下，软土路基的上表面与空气接触，为可以自由排水的边界，此时空隙水压力和孔隙气压力为0，如果非饱和土相邻土层为渗透性良好的砂土地基，则边界孔隙水压力和孔隙气压力也为0。将此边界条件用数学式表示如下：

(14)

上边界为排水条件、下边界不排水时，边界条件的数学表达式为

(15)

两种边界条件的计算结果如图4、图5。由图4、图5可见，在水和气体的渗透系数相同的条件下，孔隙气压力的消散速度远大于孔隙水压力。固结边界条件对其孔隙压力在土层中的分布和消散速度都有明显的影响。双排水条件下孔隙压力消散的速度明显大于单排水条件下的。软土边界的排水条件越好、渗流通道越短，孔隙压力消散所用的时间越短，越有利于软土尽快完成固结沉降。

图4 双排水和单排水条件下孔隙压力等时线Fig. 4 Isochrones of pore pressure under double and single drainage conditions

图5 双排水和单排水条件下不同深度处的孔隙压力-时间曲线Fig. 5 Pore pressure-time curve at different deepness under double and single drainage conditions

4.2 初始孔隙水压力分布对固结的影响

在实际工程中，孔隙水压力在土层中的分布会受到各种因素的影响，其大小沿深度方向并不是一个定值。为了进一步分析初始孔隙水压力的分布对固结沉降的影响，笔者引入式(16)来讨论孔隙水压力为非线性分布时对固结沉降的影响：

(16)

式中：参数b可以控制孔隙水压力分布的范围；参数R控制孔隙水压力的最大值。

图6 孔隙水压力分布(b=2、6、12)Fig. 6 Pore water distribution(b=2、6、12)

由图6可见，随着时间的发展，3种情况下孔隙水压力在土层中都出现了负值，且负值的范围不断扩大，当最小负孔隙水压力出现后，孔隙水压力又逐渐增大变为正值，最终趋近于0。在非饱和土体中当孔隙气压力消散过程中造成土体中气压与大气压失去平衡时，气压差形成了负孔隙水压力。负孔隙水压力对土粒产生吸附作用，从而增加了非饱和土的有效应力和抗剪强度，当气压达到平衡时，负孔隙水压力消散。由此可见，不论是边界条件还是初始条件，对于非饱和软土路基固结的固结速度、孔隙压力消散速度和土体工程性质都有明显的影响，这对软土路基在实际工程的设计提供一定的依据。

5 结 语

笔者使用非线性黏弹性蠕变模型作为软土的本构模型，并将本构方程与非饱和土有效应力理论以及孔隙水压力和孔隙气体压力控制方程结合，推导出了一维条件下非饱和软土的固结-蠕变耦合方程，可求解非饱和软土路基竖向的沉降值和孔隙压力。通过理论计算结果与数值计算结果和工程观测数据进行比对，验证了该固结-蠕变理论的正确性，为路基长期固结沉降的研究提供了新的思路。利用所推导的固结-蠕变耦合方程，笔者讨论了边界排水条件和初始孔隙水压力分布对于非饱和土孔隙压力消散的影响，发现软土边界排水条件越好，孔隙压力消散所需时间越短。而且非饱和软土在固结过程中的孔隙压力不一定是单调递减的，有可能出现孔隙压力重分布的现象，固结过程中孔隙水压力可能出现负值，这对于实际工程有一定的借鉴意义。由于笔者的理论推导是在一维的条件下进行的，对实际情况作出了大量的简化，在后续的研究中，需要进行二维、三维条件下的扩展。

参考文献(References)：

[1] 陈正汉. 非饱和土与特殊土力学的基本理论研究[J]. 岩土工程学报,2014,36(2):4-30.

CHEN Zhenghan. On basic theories of unsaturated soils and special soils[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 2014,36(2): 4-30.

[2] BISHOP A W. The principle of effective stress[J].TekniskUkebladISamarbeideMedTeknikk,Oslo,Norway, 1959,106(39):859-863.

[3] KHALILI N, KHABBAZ M H. A unique relationship for χ for the determination of the shear strength of unsaturated soils[J].Géotech-

nique, 2015, 52(51):477-478.

[4] ALONSO E E, GENS A, JOSA A. A Constitutive Model for Partially Saturated Soils[J].Géotechnique， 1990,40(3):405-430.

[5] FREDLUND D G, RAHARDJO H.SoilMechanicsforUnsaturatedSoil[M]. New York: John Wiley and Sons, 1993.

[6] 沈珠江. 非饱和土简化固结理论及其应用[J]. 水利水运工程学报,2003,4(3):3-5.

SHEN Zhujiang. Simplified consolidation theory for unsaturated soils and its application[J].Hydro-ScienceandEngineering, 2003,4(3):3-5.

[7] 秦爱芳,张九龙.考虑渗透系数变化的非饱和土固结性状分析[J]. 岩土力学, 2015, 36(6):1521-1528.

QIN Aifang，ZHANG Jiulong. Analysis of consolidation of unsaturated soil with variable permeability coefficient[J].RockandSoilMechanics, 2015, 36(6):1521-1528.

[8] 周万欢,赵林爽.复杂初始和边界条件对一维非饱和土固结的影响[J]. 岩土工程学报, 2013,35(增刊1):305-311.

ZHOU Wanhuan, ZHAO linshuang. Influence of initial and boundary conditions on one-dimensional consolidation of unsaturated soil[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 2013,35(Sup1): 305-311.

[9] HO L, FATAHI B, KHABBAZ H. Analytical solution for one-dimensional consolidation of unsaturated soils using eigenfunction expansion method[J].InternationalJournalforNumerical&AnalyticalMethodsinGeomechanics, 2014, 38(10):1058-1077.

[10] BLATZ J A, GRAHAM J.Elastic-plastic modelling of unsaturated soil using results from a new triaxial test with controlled suction[J].Géotechnique, 2015, 53(1):113-122.

[11] 陈晓平，白世伟.软土蠕变-固结特性及计算模型研究[J].岩石力学与工程学报,2003,22(5):728-734.

CHEN Xiaoping, BAI Shiwei. Research on creep-consolidation characteristics and calculating model of soft soil[J].ChineseJournalofRoekMehanicsandEngineering, 2003,22(5):728-734.

[12] 赵亚哥白. 高速公路软土地基沉降量的人工神经网络预测[D]. 哈尔滨:东北林业大学，2006: 30-36.

ZHAO Yagebai.PredictionoftheSettlementofHighwaySoftsoilFoundationbyAtificialNeuralNetwork[D]. Harbin：Northeast Forestry University, 2006: 30-36.

[13] 陈正汉. 非饱和土的水气运动规律及其工程性质研究[J]. 岩土工程学报,1993,15(3)：5-12.

CHEN Zhenghan. Research on movement law and engineering properties of moisture and air in unsaturated siol[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 1993,15(3)：5-12.

[14] 詹美礼，钱家欢. 软土流变特性试验及流变模型[J]. 岩土工程学报, 1993,15(3)：4-9.

ZHAN Meili, QAN Jiahuan.Characteristic test and model of rheology of soft soil[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 1993,15(3)：4-9.

[15] 陈正汉, 秦冰. 非饱和土应力状态变量的研究[J]. 岩土力学, 2012, 33(1): 1-11.

CHEN Zhenghan, QIN Bing. On stress state variables of unsaturated soils[J].RockandSoilMechanics, 2012,33(1): 1-11.