混凝土人字形折板式网壳结构的弹性稳定分析

杨碧超 张华刚 宋勇 吴琴 王勤征 李莉

摘 要：弹性稳定是结构非线性分析时考虑缺陷影响的基础。对混凝土人字形折板式网壳结构基于对称性作简化分析，导得结构弹性失稳临界荷载计算的超越方程并给出临界荷载-肋梁刚度比曲线。采用有限元方法计算结构的失稳荷载，给出了低阶失稳模态；并考虑边梁、脊线和肋刚度及矢跨比的影响计算弹性失稳临界荷载，上述刚度改变通过调整构件截面高度实现。结果表明：结构的低阶弹性失稳模态关于脊线对称，其中一阶模态为半波反对称变形；矢跨比是影响弹性失稳临界荷载的重要因素，建议矢跨比不低于1/6；增大边梁的截面高度并不能有效提高其抗扭刚度，因此不能显著影响弹性失稳临界荷载；脊线刚度对弹性失稳临界荷载的影响较小；肋刚度的增加可以大幅度提高结构弹性失稳临界荷载。

关键词：混凝土折板式网壳；弹性稳定；简化分析；有限元法；临界荷载

中图分类号：TU375

文献标识码： A

由于混凝土壳体结构的施工较为复杂，自上世纪七十年代后，除在筒仓、冷却塔等特种结构中有所应用外，国内外较少得到修建[1-3]。滕锦光等提出的钢壳-混凝土薄壳组合结构，钢殼可以作为混凝土壳的施工模板[4-5]，常玉珍等提出的组合肋壳，壳肋采用了外包钢[6]，上述组合壳体从构造上可以提高结构的施工速度。张华刚等将密肋平板和折板结构相结合，提出了混凝土折板式网壳结构[7]，它由若干块密肋平板在脊（谷）线处交汇构成，从而可将曲面施工改为折平面施工，在构形上有效降低了混凝土壳体结构的施工难度，并取得了较好的技术经济指标[8]。

当前对混凝土人字形折板式网壳结构的研究主要集中在静力性能和动力特性等方面[8-11]。相对于混凝土普通结构而言，由于组成结构的密肋梁板的截面尺寸较小，加之不可避免的施工坐标偏差及可能存在的构件几何、材料缺陷等影响，稳定问题应成为这种结构实际应用时控制其极限承载力的重要问题。影响结构稳定性的因素较多，当前对结构缺陷的引入主要有随机缺陷模态法和一致缺陷模态法，其中一致缺陷模态法的计算工作量小、计算精度较高，它主要以结构最低阶屈曲模态来模拟结构的初始缺陷分布[12]，因此弹性稳定分析是一致缺陷模态法的基础。本文采用有限元方法对结构作弹性稳定性的参数分析，考虑的影响参数主要有矢跨比、边梁刚度、脊线刚度、密肋梁刚度，基于分析结果主要考察结构的一阶屈曲模态并获得结构的弹性极限承载力，可为工程应用提供参考并为后续的几何非线性分析奠定基础。

1 结构弹性稳定的简化计算

1.1 结构形式

本文的分析对象如图1 所示，屋盖由两块密肋平板在脊线处相交构成，并在山墙处设置空腹桁架式横隔，屋盖的拱向跨度为Ly。

1.2 弹性稳定的简化计算

在竖向荷载作用下，基于结构主要沿拱向传力的特点，并将边梁的抗扭约束作用采用弹簧刚度 表示，则可得到图2（a）所示的典型计算单元，再基于对称性可获得如图2（b）所示的弹性稳定计算简图。

其中杆的实际长度为l=L/（2cosα）， L和α分别为屋盖跨度和倾角。将屋盖的竖向荷载沿杆轴向和垂直于杆轴向分解，其中垂直于杆轴向的分力引起结构跨中恒定的竖向位移，本文忽略其对结构稳定性的影响，并将杆的轴向压力累加至B支座，即轴向压力为

结合式（1），可知竖向荷载的临界值还和结构矢跨比有关。式（8）和式（9）可作为一定矢跨比下结构弹性失稳时临界荷载的上、下限值。

2 结构弹性稳定的有限元分析

2.1 计算原理

考虑轴力对结构侧向变形的影响，由势能驻值原理可得结构平衡方程为[15]

其中[K]为不考虑轴向力影响的结构弹性刚度矩阵，[S]为纵向力影响下的结构几何刚度矩阵，即纵向力P隐含在[S]中；{Δ}为结点位移向量，[F]为结点的荷载向量。在稳定平衡状态下，结构势能的变分应为零，即有

式中包含荷载P的代数方程，P的最小值为临界荷载。求解时，因为弹性刚度矩阵[K]是已知的，而几何刚度矩阵[S]中的P未知，因此可以任意假设一组外荷载{P0}，此时与其对应的几何刚度矩阵为[S0]，并假定弹性失稳的荷载为{P0}的λ倍，这样失稳时的几何刚度矩阵变为λ[S0]，特征方程变为

求出各阶特征值λ1后，即可得描述结构变形形状（模态）的特征向量{Δi}，临界荷载为λi{P0}。

2.2 有限元计算模型

结构平面尺寸为17.4 m×16.8 m，如图4（a）所示。结构跨度为17.4 m，横隔上下弦截面尺寸为400 mm×600 mm，中弦截面尺寸为250 mm×350 mm，腹杆截面尺寸为350 mm×350 mm，上述尺寸为本文全部有限元算例的通用尺寸。

除屋面板采用板壳单元外，其余构件均采用梁单元，单元划分均按自然结点划分为一个单元，有限元模型如图4（b）。图4（a）中，A#轴上的矩形框仅示意约束位置。材料弹性模量Ec=3×104 N/mm2，泊松比ν=0.2。有限元计算时与式（11）对应的荷载为结点单位集中力。

3 弹性失稳的模态及失稳荷载

为了解结构的弹性失稳模态，取矢跨比为1/4，边梁截面尺寸为0.4 m×0.6 m、密肋梁截面尺寸为0.25 m×0.35 m、横隔上弦截面尺寸为0.4 m×0.6 m、脊线截面尺寸为0.25 m×0.6 m计算，前六阶失稳荷载的计算结果见表1，对应失稳模态如图5所示。可见前六阶屈曲模态均关于脊线对称，反应了这种结构特有的变形性质，其中第1阶模态关于脊线半波反对称，第2阶是关于脊线反对称的2个

半波模态，第3阶模态关于脊线半波正对称，第5阶为关于脊线的两个半波正对称模态，第4阶和第6阶模态为多波模态。

4 弹性稳定的参数化分析

4.1 算例情况

基于前节的有限元模型，通过改变结构矢高和边梁刚度、脊线刚度、肋刚度及屋面板厚度进行计算，以了解上述因素对结构弹性失稳临界荷载的影响，算例分别为：

（1）仅调整矢跨比计算了6个算例，矢跨比为1/3、1/4、1/5、1/6、1/8和1/10。

（2）仅改变边梁的截面高度分析了5个算例，边梁截面高度分别取0.5 m、0.6 m、0.7 m、0.8 m和0.9 m。

（3）仅将脊线截面高度从0.5 m开始按0.1 m的差值增大到0.9 m，共计算了5个算例。

（4）仅改变肋的截面高度计算了5个算例，肋截面高度分别为0.25 m、0.3 m、0.35 m、0.4 m和0.45 m。

上述因素仅会影响结构的一阶弹性失稳模态坐标，而不会从本质上改变其一阶模态，因此计算结果仅考察临界荷载。

4.2 计算结果及分析

4.2.1 矢跨比对临界荷载的影响

不同矢跨比下临界荷载的计算结果如图6所示。结构的临界荷载随矢跨比的增加而增加，且几乎成线性关系，当矢跨比为1/10时，临界荷载为32.0 kN，当矢跨比为1/3时，临界荷载为68.9 kN，临界荷载增加了115.3%，因此矢跨比是影响结构弹性稳定临界荷载的重要因素，且矢跨比低于1/6后，临界荷载具有明显的变化梯度，结合结构动力特性分析[11，13]，建议结构矢跨比不低于1/6。

4.2.2 边梁刚度对临界荷载的影响

改变边梁刚度后，弹性失稳临界荷载的计算结果如图7所示。临界荷载随着边梁截面高度的增加而增加，但增幅较缓，当边梁截面高度取0.5 m时，临界荷载为59.0 kN，当边梁高度增大到0.9 m时，临界荷载为64.1 kN，仅增大了8.6%。前述分析已表明，失稳的临界荷载受边梁抗扭刚度影响，仅提高边梁截面高度是有利于其抗弯刚度增强的，但对抗扭刚度的提高作用有限，对于本算例，当边梁截面高度由0.5 m增加至0.9 m时，其抗扭刚度仅增加了2.52倍，可见增加边梁截面高度不是提高结构临界荷载的有效措施。

4.2.3 脊线刚度对临界荷载的影响

由于密肋平板在脊线处交汇，有必要讨论脊线刚度的变化对屋盖临界荷载的影响。仅改变脊线截面高度后，临界荷载的计算结果如图8所示。临界荷载随脊线刚度的增大近似线性增大，当脊线截面高度取0.5 m时，临界荷载为59.9 kN；当脊线截面高度增大到0.9 m时，临界荷载为64.9 kN，增幅为8.3%。屋盖在对称竖向荷载作用下，脊线事实上为密肋平板的定向滑动支承边，因此不会明显影响结构弹性失稳的临界荷载。

4.2.4 肋刚度对临界荷载的影响

增加肋刚度后，临界荷载的计算结果如图9所示。可见肋刚度对临界荷载的影响较为明显，当肋截面高度为0.25 m时，弹性失稳临界荷载为31.1 kN，而肋的截面高度增大到0.45 m时，临界荷载为103.3 kN，截面高度增大1.8倍后，临界荷载可增大3.32倍。因此提高肋刚度是增大结构临界荷载的有效措施。

5 结论

（1）在本文的简化假定下，结构弹性失稳的临界荷载与肋-边梁的刚度比有关，本文提供的弹性失稳临界荷载-刚度比曲线可供结构弹性稳定分析时采用。

（2）结构的低阶弹性失稳模态以脊线为对称轴，反应了这类结构特有的变形性质，其中一阶弹性失稳模态关于脊线半波反对称，是结构失稳时潜在的变形趋势。

（3）结构矢跨比是影响弹性失稳临界荷载的重要因素，建议矢跨比不低于1/6。

（4）边梁作为人字拱的主要传力和约束构件，增大边梁的截面高度并不能有效提高其抗扭刚度，因此边梁截面高度的改变不能显著影响弹性失稳临界荷载。

（5）屋盖受对称竖向荷载作用时，可认为脊线是密肋平板的定向滑动支承边，因此脊线刚度对弹性失稳临界荷载的影响较小。

（6）肋刚度的增加可以大幅度提高结构弹性失稳临界荷载。

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（责任编辑：周晓南）