初中数学两个疑难点初探

张耀阳

摘 要：七年级上半学期，都是教学生有理数的运算，其中包括五种运算：加、减、乘、除、乘方。这几种运算中，又以加减法最为基础，最难掌握；在课堂教学中，不是靠文史类的机械背诵，而是在法则的制约下，在法则熟透于心后，启发学生用自己的思维方法理解加减法法则的内在意义，依靠灵动思维解决问题。从而将有理数的加减法的一百多字的法则总结为六个字，那就是——“取大，同加异减”。

关键词：法则；“取大，同加异减”；口诀；零点分段讨论

一、有理数加减法法则新诠释——“六字”法则

数学学科中，七年级新生一开始面对的就是有理数的认识与有理数的运算。有理数的认识，只需通过列举生活中相反意义的量，便可以很快认识负数，进而较为全面地认识有理数。而有理数的运算却不是一蹴而就的，将近半个学期都是教学生有理数的运算，其中包括五种运算：加、减、乘、除、乘方。这几种运算中，又以加减法最为基础、最难掌握。对有理数的加减法，是建立在一定法则之上，仅靠盲目的死记硬背来应对冗长的加减法法则，是不可取的。因此，我在课堂教学中，不是靠文史类的机械背诵，而是在法则的制约下，在法则稔熟于心后，启发学生用自己的思维方法理解加减法法则的内在意义，依靠灵动思维解决问题。从而将有理数的加减法的一百多字的法则总结为六个字，那就是——“取大，同加异减”。诠释如下：

用法则之前，我们最好将两数相加减先写成代数和的形式（这点很重要），然后有理数的加减法法则可以总结为：

两数相加，取绝对值较大加数的符号作为和的符号，并将两个加数的绝对值相加作为和的绝对值（两数同号时），或将绝对值相减作为和的绝对值（两数异号时）。简称“取大，同加异减”。

例1.计算：（1）-10+8=-（10-8）=-2

分析：按法则，取大，因为两加数-10和+8中，-10的绝对值大，故和的符号取“-”号；同加异减，因为是异号两数的和，所以用较大的绝对值10减去较小的绝对值8，可得结果为-2。

（2）-5-7=-（7+5）=-12

分析：按法则，取大，因为两加数-5和-7中，-7的绝对值大，故和的符号取“-”号；同加异减，因为是同号两数的和，所以只需将两加数的绝对值5和7加起来，可得结果为-12。

例2.计算

（1）-5+5=-（5-5）=0

分析：按法则，取大，因为两加数-5和+5中，两加数的绝对值一样大，故和的符号取“-”号或“+”号均可；同加异减，因为是异号两数的和，而且两加数的绝对值均为5，绝对值相减可得结果为0。

（2）0+（-10）=-（10-0）=-10

分析：按法则，取大，因为两加数0和-10中，-10的绝对值大，故和的符号取“-”号；同加异减，因为是异号两数的和，所以用较大的绝对值10减去较小的绝对值0，可得结果为-10。

二、绝对值及其化简

1.绝对值的几何意义：一个数a的绝对值是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作a。

2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

3.绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0；字母a的绝对值表示如下：

aa（a≥0）-a（a<0）或者aa（a>0）-a（a≤0）

（一）如何利用数形结合思想解决绝对值化简问题，本人总结的口诀是：“绝对值，变括号，正本身，负相反”。

例1：实数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，则代数式a-a+b+c-a+b-c是下列哪一个选项。

（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a

解析：由上图容易看出，a<0，a+b<0，c-a>0，b-c<0，这就为去掉绝对值号扫清了障碍。

解：a-a+b+c-a+b-c

=（ ）-（ ）+（ ）+（ ）（绝对值，变括号）

=（ -a ）-（ -a-b ）+（ c-a ）+（ c-b ）

理由：（负相反）（负相反）（正本身）（负相反）

=-a+2c ∴应选（C）。

归纳总结：这类型题是把已知条件标注在数轴上，借助数轴提供的信息让学生去观察，学生一定要弄清：（1）零点的左边都是负数，右边都是正数。（2）右边点表示的数总大于左边点表示的数。（3）离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能很容易地解决问题了。

（二）采用零点分段讨论法

例2：化简代数式2x-2-x+4

解析：该题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x-2，x+4的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况一一讨论。

解：令x-2=0得零点：x=2；令x+4=0得零点：x=-4，把数轴上的数分为三个部分（如下图）

①当x≥2时，x-2≥0，x+4>0，∴原式=2（x-2）-（x+4）=x-8

②当-4≤x<2时，x-2<0，x+4≥0，∴原式=-2（x-2）-（x+4）=-3x

③当x<-4时，x-2<0，x+4<0，∴原式=-2（x-2）+（x+4）=-x+8

∴2x-2-x+4=-8+x（x≥2）-3x（-4≤x<2）-x+8（x<-4）

归纳总结：虽然x-2，x+4的正负不能确定，但在某个具体的区段內都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

1.求零点：分别让各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）。

2.分段：第一步求出零点之后，根据该零点将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定。

3.在各区段内分别考查问题。

4.将各区段内的情形综合起来，得到最终答案。

编辑 鲁翠红