天体圆周运动追及相遇问题的解法

辽宁 郑 金

对于两个同心圆轨道上的匀速圆周运动的追及相遇问题，在求周期与半径的关系时，既可应用开普勒第三定律列方程，也可应用万有引力定律和牛顿第二定律列方程，两种方法是统一的，需灵活选用。虽然在有关追及相遇的各种问题中给出的物理量以及待求的物理量有所不同，但一般化的解答方法比较相似，注意灵活利用特殊方法，可使这类问题迎刃而解。下面针对两个天体沿相同方向的匀速圆周运动追及相遇问题所求物理量的不同按4种情况进行分类解析。

一、求再次相距最近或最远时经历的时间

如果两个行星开始距离最近即相遇，若求何时再次相遇，则可选择其中运动较慢的物体为参照物，视为静止不动，那么运动较快的物体比运动较慢的物体多转1周，即多转过2π角度时，再次相遇；若求何时二者距离最远，那么运动较快的物体比运动较慢的物体多转整数周再加上半周，或者说多转过的角度为2kπ+π(k为整数)时，二者相距最远。两种情况可分别列出方程(ω1-ω2)t=2π或(ω1-ω2)t=2kπ+π，即可求出时间。

【例1】如图1所示，假设A、B两个行星轨道半径之比为r1∶r2=1∶3，已知A的周期为T1，某时刻二者位于过圆心的同一半径上，即相距最近，问何时再次相距最近？

【点评】解题思路是由开普勒第三定律求出周期之比，利用相对角速度法列出方程，即可求出时间。

【拓展】如果二者多次相距最近，那么相距最近时能否出现于原来的位置？

【点评】如果再次相距最近时两个行星转过的圈数都是整数，则二者同时出现于原来的位置，这是一种非常特殊的相遇情形，在自然情况下难以实现。

【例2】某卫星在地球赤道上空运行，轨道平面与赤道平面重合，轨道半径为r，运行方向与地球自转方向相同。设地球的自转的角速度为ω0，半径为R，地球表面处的重力加速度为g，在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，那么到它下次通过该建筑物的正上方经历的时间可能为 ( )

【解析】对某卫星由万有引力提供向心力有

考虑到卫星与地球自转的角速度的大小关系，需进行讨论，可分为如下三种情形:

(1)若某卫星是地球同步卫星，则它始终位于建筑物的上方。该题不属于这种情况，没有符合的选项。

【点评】该题属于地球一般卫星与地球表面上的某一物体的追及相遇问题，等效于地球一般卫星与地球同步卫星的追及相遇问题。需首先求出地球一般卫星角速度的关系式，再根据其运行高度的可能性来确定地球一般卫星的角速度与地球自转角速度的大小关系，分别列方程求时间。

二、求相距最近或最远时某星转过的周数

圆周运动的时间与圆周运动的周期之比为周期的个数，即为圆周运动的周数。有两种方法可用，其一是把两个卫星对应的角速度与周期的关系式分别代入方程(ω1-ω2)t=2π，结合开普勒第三定律，即可求出周数；其二是应用万有引力定律和牛顿第二定律列方程求出周期，再用运动时间和周期之比求周数。

【例3】两颗地球卫星在同一轨道平面内做同向匀速圆周运动，地球半径为R，A卫星离地面高度为0.5R，B卫星离地面高度为5R，若某时刻两卫星正好同时通过地面某点的正上方，求卫星B经过多少个周期时两卫星相距最远？

【解析】某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，表示此时相距最近。设B卫星经过n个周期时两卫星与地心共线，分别位于地球的两侧，由于二者做同向匀速圆周运动，则A比B多转过的角度为

(ωA-ωB)t=2kπ+π

【解析】由于c是地球同步卫星，在某一时刻刚好位于a的正上方，则以后永远在a的正上方，可知A项错误。该题主要是判断卫星b转过几圈，即在48 h时间内，地球自转2周，需判断卫星b转过多少，已知运动时间，应先求出周期。由万有引力定律和向心力公式有

可知在48 h的时间内，b转过的圈数为

即经过48 h后b的位置相当于从初始位置转过 0.64圈时的位置，由图可知B项正确。

【点评】解题关键根据万有引力提供向心力列方程，定量计算卫星b做圆周运动的周期的具体数值，以便计算其转过的圈数，但不一定是整数。该题所反映的运动状态是：开始时三者共线，后来三者不一定共线，需进行判断。如果求相遇的次数，则经过48 h，卫星c转过两周，卫星b转过8.64周，可知卫星b比卫星c多转过6.64周，则相遇6次。

三、求一定时间内相距最近即相遇的次数

【例5】假设有一载人宇宙飞船在距离地面高度为4 200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球同步卫星到地面的高度约为36 000 km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为 ( )

A.4次 B.6次

C.7次 D.8次

四、利用一定时间内相遇次数求公转周期

如果两个行星开始距离最近即相遇，若已知二者在一定时间内相遇的次数n，则运动较快的行星比运动较慢的行星多转n周，即多转过2nπ的角度，由此列方程可求出两个行星的周期关系，再应用开普勒第三定律还可求出二者运动轨道的半径之比。

【例6】某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图4所示。该行星与地球的公转轨道半径之比为 ( )