坐标系转换中基于象限分布的公共点选取方法

李金涛，王 微,石 波

(山东科技大学 测绘科学与工程学院，山东 青岛 266590)

在工程应用中，实现坐标系统的变换与统一问题，需已经变换参数进行坐标转换。提高坐标转换参数精度方面，牛琳等提出逐步剔除精度不高和分布不合理的公共点的方法[5]；王玉成等提出分区转换的方法[6]，这两种方法都有效地提高转换参数的求解精度，但对公共点的数目要求较高，需要布设和施测大量的公共点；兼顾转换参数的求解精度和公共点数量，尹晖等提出了有效面积分析法[7]，可以减少公共点的数量且保证转换参数的求解精度，但该方法主要考虑三维公共点在水平面上分布的合理性，对于在垂直面上的分布考虑较少，存在一定缺陷。因此本文提出了基于象限分布的公共点选取方法，充分考虑到二维及三维坐标系中公共点的数量及空间分布的几何特征。实验证明，利用该方法选择的公共点求得的转换参数精度高且数量少，对公共点的布设、选取具有指导作用。

本文介绍了四参数平面坐标转换和七参数空间坐标转换的方法，然后详细论述了平面坐标转换和空间坐标转换中一种基于象限分布的公共点选择新方法，最后为验证该方法的可行性，利用模拟数据分别在平面坐标系和空间坐标系下进行可行性分析。

1 坐标转换模型

1.1 平面四参数坐标转换模型

四参数模型是从布尔莎模型演化而来的，其计算式为

(1)

1.2 空间七参数坐标转换模型

设有两个空间直角坐标系，坐标原点不同，空间尺度不同，3个坐标轴也互不平行，将其中一个坐标系下的某空间点A转换到另一个坐标系下，需要计算两坐标系之间的7个转换参数，包括3个旋转参数εx，εy，εz，3个平移参数ΔX,ΔY,ΔZ和一个尺度因子λ。这7个参数与两空间直角坐标系中公共点坐标之间的关系[8-9]：

(2)

若已知两坐标系中至少3个公共点的三维坐标，可利用最小二乘原理求解7个转换参数的最或然值。若将原坐标系依次绕Z轴、新的X轴和新的Y轴进行旋转，则相应的旋转矩阵为

2 基于象限分布的公共点选取方法

2.1 平面坐标转换中公共点的选取

基于象限分布的公共点选取方法主要考虑了公共点的几何分布对求解结果的影响，在公共点点位精度相同的条件下，公共点分布比较密集时，从几何角度上来讲，各点与原点所成直线间夹角过小；从向量线性关系的角度来看，相当于各点所成向量接近于线性相关。因此公共点分布不合理时容易导致转换参数解算过程中法方程的病态性，其程度可用条件数K表示[10-12]。公共点分布越离散，点位几何强度越好，K值越小，求解精度越高；反之求解精度越低。点位分布将直接影响参数求解精度。基于象限分布的公共点选取方法是根据公共点在坐标象限中的分布情况，选取出分布尽可能离散的一定数目的公共点参与计算，以提高点位的几何强度，从而提高参数求解精度。平面坐标转换中假设原坐标系下有如图1所示分布的公共点，利用公共点象限分布的方法选取公共点。

1)对各公共点的Χ坐标和Y坐标取平均值，将坐标原点O移到均值处，完成公共点坐标的重心化；

2)在四个象限中，分别找到该象限中距离坐标原点最远的点，即图2中P1,P2,P3,P44点，并计算它们各自到坐标原点的距离d1,d2,d3,d4；

3)取d1,d2,d3,d4的平均值d，以坐标原点为圆心，以d为半径做圆，用该圆边界所在的区域表示初始概略搜索区域，如图3中的实线圆所示；

4)根据公共点间的平均距离s确定搜索参数L，L=k×s，k为实数，初始值可取为1。半径为d+L和d-L的圆之间的区域即确定为初始搜索区域，如图3中两虚线圆之间的区域，该区域内的点最先被搜索到。

5)计算每个象限中初始搜索区域内公共点到该象限中线(图4中实对角线)的距离，距离中线最近的公共点视为满足条件的公共点，完成一次搜索；

6)若初次搜索后搜索到的公共点数目大于最终需要的数目，则适当减小k值以缩小初始搜索范围再次搜索；反之则增大k值，从而扩大初始搜索范围继续进行搜索，直到搜索到满足数目要求的公共点。

图1 平面公共点分布

图2 重心化后公共点分布

图3 初始概略搜索区域

图4 象限中线与搜索区域

平面坐标转换至少需要两个公共点，由于该方法搜索得到的公共点分布具有最佳性，因此从3个或4个象限中搜索3～4个公共点求解的转换参数就具有很高的精度。

2.2 三维坐标转换中公共点的选取

将二维平面拓展到三维空间，基于公共点象限分布的选择方法从8个象限中搜索一定数目的公共点，使得这些公共点的几何强度最高。公共点的选择方式与二维空间中类似，假设在三维空间下，两坐标系中有7个公共点，分别为P1～P7，它们在8个象限的空间分布如图5所示，为形象地表示点与点之间的位置关系，在图6中表示在XY平面内的投影图。

图5 三维空间公共点分布

图6 公共点的平面投影

基于象限分布的公共点选择方法：对7个公共点进行坐标重心化，使得7个公共点在8个象限中尽量均匀分布；确定初始概略搜索区域，概略搜索区域为一球面，球心在坐标原点，半径为各个象限中与坐标原点相距最远点的平均值。初始概略搜索区域在XY平面内的投影如图7中虚线圆所示；确定初始搜索区域，在三维空间中，初始搜索区域为两个同心球体的非公共部分。两同心球与第一象限的位置关系如图8所示，P1，P2两点位于此象限初始搜索范围内；从每个象限中搜索距离该象限中线(图8中虚对角线为第一象限的中线)最近的点作为搜索到的公共点，尽量使得搜索到的点所在的象限互不相邻。若第一次搜索后满足条件的公共点数目多于最终需要的公共点数目则适当减小k值以缩小初始搜索范围；反之则增大k值，扩大搜索范围，循环搜索，直到搜索到最终需要数目的公共点。

要求得7个坐标转换参数需知道至少3个公共点，利用基于公共点象限分布的方法指导空间坐标转换公共点选取时，可以找到分布合理且尽量少的公共点，使得用少量的点求得的结果与大量的点求得结果相当甚至精度更高。

图7 初始概略搜索区域

图8 第一象限搜索区域

3 实验分析

3.1 平面坐标转换公共点选取实验

假设在两平面坐标系中有7个公共点，它们在原平面直角坐标系中的分布如图9所示，坐标值如表1所示。对7个公共点先绕坐标原点旋转10°，再分别沿X，Y轴方向平移10 m，20 m，得到目标坐标系下的坐标，对目标坐标系下的坐标加上σ=5 mm的高斯白噪声扰动。

图9 原平面公共点分布

公共点点号P1P2P3P4P5P6P7X坐标值/m-50-45-40-40-101020Y坐标值/m50604010-201030

若从7个公共点中选出3个参与求解转换参数的平差计算，利用本文提出的方法选出的3个公共点为P3,P4,P7，对应的公共点组合序号为28(表2列出了组合序号与公共点组合方式的对应关系)。为表示其求解精度，利用未参与计算的点检验所求的转换参数，并计算标准差σ。

Δs2=Δx2+Δy2.

(3)

任意3个公共点参与计算时求得的方程条件数、标准差、平移误差和角度旋转误差如表3所示，其中组合序号为36的表示利用7个公共点共同求解的结果，将此结果作为参考值，对应的标准差由7个点求得。

表2 公共点组合序号与公共点组合方式的对应关系

表3 平面坐标转换公共点组合方式与对应的求解结果

为比较求解结果的精度，将各种组合方式下求得的结果绘制成图10所示的直方图。从图中可以看出，标准差、角度和距离参数误差与方程条件数有一定关系，条件数较小时标准差较小，角度和距离的求解误差也均较小，反之条件数较大，标准差变大，角度和距离的求解误差至少有一个较大。即反映了公共点分布几何强度的好坏对求解结果精度的影响，当公共点分布合理时条件数较小，对应的参数求解精度及坐标转换精度也较高。

图10 平面坐标转换各种求解结果

从图10中可以看出方程条件数较小的组合序号为12和28，即这两种组合公共点的几何强度高，再通过比较标准差和转换参数误差可知，组合序号为28的求解精度较高，这与利用本文的方法选出的公共点组合方式一致，且只用了3个公共点参与计算，减少了所需公共点的数量。

3.2 三维坐标转换公共点选取实验

假设在两空间直角坐标系中有7个公共点，在原空间坐标系中的分布如图11所示，坐标值如表4所示。对7个公共点分别绕X,Y,Z轴旋转20°,40°,60°，再分别沿X,Y,Z轴方向平移10 m,20 m,30 m，得到目标坐标系下的坐标，对目标坐标系下的坐标加上σ=5 mm的高斯白噪声扰动。

图11 原三维空间公共点分布

公共点点号P1P2P3P4P5P6P7X坐标值/m100-1001001003080-10Y坐标值/m10010010095-3060-20Z坐标值/m100100-100-95-304020

从7个公共点中选出3个来求解7个转换参数，并计算它们的真误差。利用本文提出的方法选取到的公共点为P1,P2,P33个点，对应的组合序号为1(见表5)，各种组合方式所求得的条件数、标准差和七个转换参数误差如表5所示。

表5 三维坐标转换公共点组合方式与对应的求解结果

为分析各种组合方式下的求解精度，将各种组合方式下求解的条件数、标准差、平移误差和旋转角度误差绘制成如图12所示的条形图。

图12 三维坐标转换各种求解结果

从图中各种组合方式求得的标准差与参考值(组合序号为36)比较可以看出公共点组合序号为 1、7、20、25、26、28的6种组合方式求解结果精度较高，与之相对应的条件数均较小，对应的参数解算精度较高。在这6中组合方式中，组合序号为1的解算精度更高，这与利用本文提出的方法搜索到的公共点组合方式一致，因此本文提出的基于象限分布的公共点选择方法在三维坐标转换中能够选出分布合理、数量少、参数求解精度高的公共点组合方式。

4 结束语

本文提出一种基于象限分布的公共点选取新方法，并结合模拟数据验证该方法指导平面坐标转换和空间坐标转换时公共点布设和选取的可行性，实验结果证明在公共点数量相同且较少的条件下，利用该方法选取公共点分布最为合理，几何强度最高，只需少量公共点即可达到大量公共点共同求解的效果。