数学核心素养在数列中的渗透

王中华

教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长王尚志教授提出，中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养.数列在现实生活中有着广泛的应用，是培养学生核心素养的重要题材.

一、数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.

例1 （2017年高考全国卷一理科卷第12题）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数Ⅳ：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A.440 B.330 C.220 D.110

参考答案 A

名师点睛 本题巧妙地将实际问题和数列融合在一起.考生首先需要读懂题目所表达的意思，以及观察所给数列的特征，进而判断该数列的通项与求和.本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.本题的解题关键是对新的数学情景的理解或对新概念的提炼升华.

二、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从小范围内成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从大范围内成立的命题推断小范围内成立的命题的推理，推理形式主要有演绎推理.

例2 （Ⅰ）图1是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第20行从左至右的第4个数字应是____.

（Ⅱ）四面体数为：1，4，10，20，35，56，84，120，….它们是恰能垒成正四面体堆垛的大小相同的小球的个数，猜想其通项公式为____.参考答案（Ⅰ）194（Ⅱ）1/6n（n+1）（n+2）

名师点睛 第（Ⅰ）题考查归纳推理以及等差数列的前n项和公式，属于中档题，解题的关键在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.第（Ⅱ）题可利用分解或组合的方法，将看似无规律、无目标的问题变得有规律可循.

三、数学建模

数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程.具体表现为：在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果.

例3 英国著名物理学家牛顿在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）的零点时给出一个数列{xn}：满足xn+1=xn-f（xn）/f'（xn），我们将该数列称为牛顿数列.若函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）有两个零点1，2，数列{xn}为牛顿数列，设an=Inxn-2/xn-1，已知a1=2，xn>2，则数列{an}的通项公式an=_____.

参考答案2''

名师点睛 利用数学建模解决实际应用问题，先要正确理解题意，分析条件和结论，理顺数量关系，选择恰当模型：再建立模型，即将文字语言、图形（或数表）等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题：然后选择合适的数学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）：最后将利用数学知识和方法得出的结论还原为实际问题的答案.在求解过程中，考生要注意实际问题对变量参数的限制条件.

四、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.

例4已知n∈N*，数列{dn}满足dn=3+（-1）n/2，数列{an}满足an=d1+d2+d3+…+d2，数列{bn}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2-20x+64=0的两个不相等的实根.

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式.

（Ⅱ）将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第an项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{Cn}，求数列{cn）的前2013项和.

参考答案（Ⅰ）an=3n，bn=2n.（Ⅱ）20×81006-6/7.

名师点睛 本例在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意挖掘隐含条件，利用性质以减少运算量，提高解题速度.方程观点以及基本量思想是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二.在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q=1与q≠1进行分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.

五、直观想象

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的聯系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

例5已知数列{an}，n∈N*.

（Ⅰ）若an=n2*5n+4，数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？求出最小值.

（Ⅱ）若an=n2+kn+4，an+1>an，求实数k的取值范围.

参考答案 （Ⅰ）两项，2或3，最小值为-2.

（Ⅱ）k>-3.

名师点睛 求数列的最大项和最小项一般有两种方法：①将数列看作特殊的函数，根据函数的性质研究数列的单调性及最值，应注意n必须取正整数.②类比函数单调性研究数列的单调性，进一步研究最值.注意最大项或最小项可能不止一项.

六、数据分析

数据分析是指从数据中获得有用信息，形成知识的过程，主要包括：收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据蕴含的结论.

例6 将正三角形ABC分割成n2（n≥2，n∈N*）个全等的小正三角形（图2，图3 分别给出了n=2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于正三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则有f（2）=2，f（3）=____，…，f（n）=______.

参考答案 10/3 1/6（n+1）（n+2）

名师点睛 解决图表类问题时，应正确理解图表中各量的意义，从图表中提取有用信息.通过图表掌握信息是解决该类问题的关键.本题主要考查考生的归纳推理能力及等差数列的求和，要求考生能根据题目中的叙述，正确地把握题目所包含的数学知识，然后化归为数列求和问题来求解.