概率与统计交汇的三个常考点

胡彬

各地高考对概率与统计主观题的考查，题型都比较固定.一般文科题考查统计与古典概型的交汇，理科题考查统计与随机事件的概率、离散型随机变量的数学期望和方差的交汇.

一、分层抽样与古典概型的交汇

例1 2015年10月，国家出台了准备放开二孩的相应政策，定于2016年1月1日起正式实施，一时间“放开生育二孩”的消息引起社会的广泛关注，为了解某地区社会人士对“放开生育二孩政策”的看法，某计生局在该地区选择4000人进行调查（若所选择的已婚人数低于被调查总数的78%，则认为本次调查“失效”），就“是否放开生育二孩”的问题，调查统计的结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08.

（I）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取420人进行深入访谈，问：应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）已知y≥657，z≥55，求本次调查“失效”的概率，

分析 持“不放开”态度的人的概率为0.08，是解答第一问的突破口，利用这个突破口可求出x.第二问中的“y≥657，z≥55”是用来确定基本事件空间中基本事件的条件，而本次调查“失效”指的是2200+200+y<4 000x0.78.由此推出y<720，用以确定本次调查“失效”这一事件中的基本事件.

参考答案 （I）84人.（Ⅱ）63/89.

小结 分层抽样问题的解题关键是抓住样本间的比例关系，一般的解答思路是先确定样本容量与总体容量的比值，再利用这一比值从各层中抽取个体.

求解古典概型问题，最重要的是确定基本事件空间中基本事件的個数，特别是基本事件比较多的情况下，不可漏数，也不可无故添加.许多情况下可以借助平面直角坐标系以及树状图来确定基本事件的个数，

二、频率分布直方图、独立性检验与古典概型的交汇

例2 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.

（I）根据已知条件完成下面的2x2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.

（Ⅱ）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.

分析 由频率分布直方图可得“体育迷”的人数，从而可以完成第一问，进而判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.解答第二问要从频率分布直方图中获取“超级体育迷”的人数，从而确定基本事件，

没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.

（Ⅱ）7/10.

小结 解答这一类型题的易错点：①在观察与运用频率分布直方图时，忽视频率分布直方图中纵轴标志是频率/组距；②K2的计算不准确；③“超级体育迷”人数的计算；④列举出所有可能的结果时重复或遗漏某一种情况.考生在解答统计问题时，常在类似③和④处出错，应引起重视.

三、分层抽样、频率分布表与离散型随机变量的数学期望的交汇

例3 某大型企业食堂为响应“光盘行动”，倡导大家珍惜粮食，吃光盘子中的食物，得到企业广大干部职工的支持.某校的几位同学组成研究性学习小组，从该企业25-55岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：

（I）求a，b，并估计该企业25-55岁的人群中“光盘族”所占的比例.

（Ⅱ）从年龄段在[35，40）与[40，45）的“光盘族”中，采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.

（i）已知选取的2人中1人来自年龄段在[35，40）中的前提下，求另一人来自年龄段[40，45）中的概率；（ii）求2名领队的年龄之和的期望值（每个年龄段以中间值计算）.

分析 对第一问可选取题设所给频率分布表中第1，2，3，4，6组中的任何一组中的频数与频率来确定总体人数n，抓住频率值的和为1，求出b，进而求出a.对第二问需注意最后给出的提示“每个年龄段以中间值计算”，用以确定2名领队的年龄之和为随机变量ξ，ξ的取值为75，80，85.由此可准确落实分布列，再求期望.

参考答案 （I）a=300，b=0.30，样本中“光盘族”所占的比例为52%.

（Ⅱ）（i）5/6.（ii）81.25.

小结 题设所给频率分布表中包含的信息为我们完善频率分布表提供了依据，而分层抽样所得数据为我们计算事件概率及随机变量相应的概率提供了数据依据，真是一环扣一环.