刘彦江 赵欣庆 张文斌 丁冬彦
(甘肃省兰州市永登县连铝学校,甘肃 兰州)
笔者基于几何画板软件探究出了“点到直线、两平行线间的距离公式”一课.以下为课堂实录,仅供参考.
几何画板展示构图:
1.新建画板,建立平面直角坐标系.在x轴上任取点H;在y轴上任取点I.过H作x轴的垂线与过I作y轴的垂线交于P0.作线段HP0、线段HP0.隐藏垂线.
2.在x轴上任取点J;在y轴上任取点K.构造过J、K两点的直线l.在直线l上任取点E,过点E作直线l的垂线,在垂线上任取点F(在直线l的右侧),构造直线的法向量构造射线EF,隐藏垂线.
3.在直线l上任意取一点P,构造向量图形如右:
4.拖动点J、K,使直线l在点P0的左侧.过点P0作射线EF的垂线交EF于点G,构造向量的投影EG.
5.拖动点P0,观察投影EG的变化.
新建文件夹,将“未命名1”存入.
板书:点到直线的距离公式:
在平面直角坐标系中,如果已知某点P0的坐标为(x0,y0),直线l的方程为Ax+By+C=0(A>0,B≠0),求点P0到直线的距离.
解:如上图,设直线l的一个法向量为不妨设为设P(x,y)是直线l上的任意一点,则
点到直线l的距离d为向量在上的投影的绝对值.
所以得到点到直线的距离公式
若A=0,直线l和x轴平行,直线l的方程为By+C=0,点到直线的距离公式为
若B=0,直线l和y轴平行,直线l的方程为Ax+C=0,点到直线的距离公式为
因此,若A=0或B=0,上式仍成立.
几何画板展示构图,其“脚本”如下:
1.新建画板,建立平面直角坐标系.在x轴上任取点H;在y轴上任取点I.构造过H、I两点的直线l′.
2.在y轴上任取点K,过点K作直线l′的平行线l″,在直线l′上任取点E,过E作直线l′的垂线,在垂线上任取点F(在直线l″的右侧),构造直线的法向量构造射线EF,构造EF与直线l″的交点G.
3.在直线l′上任取点P1,直线l″上任取点P2,构造向量.构造向量的投影EG.
4.鼠标拖动点P1、P2,观察投影EG的大小变化情况.如右图:
另存为“两条平行直线的距离公式”.
板书:两条平行直线的距离公式:
在平面直角坐标系中,两条平行直线l′与l″的方程分别为Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0,(A>0,B≠0).
求平行直线l′与l″的距离.
两平行直线l′与l″的距离d就是向量在上的投影的绝对值.
得到两平行直线间的距离公式.(板书)
本节课是向量思想方法与几何画板软件的联袂,用此法求点到直线、两平行线间的距离,直观、准确地展现了数学知识与软件教学的交叉渗透,体现了数学美.