浅谈“数形结合”思想在解决问题中的运用

刘伟梅

【摘要】古往今来，数与形的相互转化、结合是数学的重要思想，在教学中把数形结合思想渗透其中，把数学问题中的数量关系和空间形式结合，以形助教、以数辅形，可以达到逻辑思维与形象思维的完美结合，使问题化难为易、化繁为简。培养学生用图表述数量关系，发展学生的作图能力，提高学生用图征解决问题的能力可以有效提高学生的问题解决能力。

【关键词】数形结合 问题解决 以形助教 以数辅形

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）26-0093-02

“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。长期以来，问题解决是教学的重难点，有的学生能进行基本的计算，却解决不了生活中的日常问题；有些学生能明白基本概念和算理，却不能灵活运用知识解决综合性问题。问题解决已经在小学生中慢慢拉开了差距，有些学生能游刃有余地解决问题，可有部分学生却无从下手。如何有效利用“数形结合”思想解决问题，这是教师思考和实践的一个重要方向。

一、小学生在问题解决中的困难

从小学数学角度看，问题解决是指在教师的组织引导下，学生运用已有的知识、技能和能力，以积极探索的态度，创造性地解决来自数学学科或现实社会生活的问题的教学活动。但对于在问题解决中束手无策、无计可施的的学生而言，主要的困难是：1、不理解题意，不明白题目的意思；2、对于问题不够明确；3、对于问题信息获取不恰当，不能正确地建立数量之间的关系；4、数形结合思想缺乏、不能用图征解决问题。如果学生在问题解决中不能合理地分析问题，找准数量关系，有效提炼题目信息，化繁为简，问题解决就显得尤为困难，于是出现“交白卷”或“全错”的现象。因此，在教学中，如何有意识地利用数与形的结合的策略提高学生的思维素质，培养学生运用“数形结合”思想解决问题的能力显得尤为重要。

二、“数形结合”思想在解决问题中的运用策略

著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。在教学中，有些问题学生模棱两可，如能做到数形结合，学生便可透彻地加以理解。

（一）以形助数，使抽象问题具体化

数学概念具有高度的概括性和抽象性，数学问题解决需要有对问题的充分理解和对知识的灵活运用。教学中应尽可能为学生提供充分的感知材料，以直观、具体的形丰富学生的表象，帮助学生建立合理数量关系，把复杂的问题简单化、明朗化、抽象的问题形象化、具体化，以达到化繁为简，使得学生知其所以然。

如题：①一个等腰三角形，顶角是底角的3倍，求这个三角形的每个角。②一个等腰三角形，底角是顶角的4倍，求这个三角形的每个角。

对于这种类似的题目，很多学生比较薄弱，经常出错。基于学生的现状和困境，我引导学生先画图，通过图一和图二，学生很快找到各角的数量关系，这道题也就迎刃而解。

案例中，以形助数，把抽象的问题具体化，利用图形表示数学信息，让学生一目了然地找到一份量，从而有效地突破数量之间的关系。通过以形助数，创造图表，学生利用直观感知的图形，有效地建立数量关系，从而快速有效地找到解决问题的方法。

（二）以数辅形，使复杂问题简单化

吴正宪老师认为：几何研究空间形式，视觉思维占主导地位，培养知觉能力、洞察力；代数研究数量关系，有序思维占主导地位，培养逻辑能力、符号运算能力。在几何图形的周长、面积、体积等公示的归纳，如果仅仅通过观察很难得到结果，在教学中引导学生充分利用“数”的精确性、规范性、严谨性，用数据呈现算理、公式、规律，阐明行的某些属性，使复杂问题简单化。

如在探索长方形的面积公式的过程中，可以充分利用图表的作用，让学生用面积单位不重叠、不留缝隙地铺满长方形，记录在表格中（如下图），学生便可以水到聚成地找到长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽。

填一填，想一想，你发现了什么？长方形的面积=？

长/厘米 宽/厘米 面积/平方厘米

（三）数形结合，使问题解决清晰化

学生接触并利用“形”的语言后，我们应鼓励学生多用表征，用自己创造的图形解释数学，用自我创造的图表、用独有的视角分析展示问题，运用数和形的结合，可以让问题解决方法更明朗化、合理化、清晰化。

如下题，学生刚接触这种类型的题目时，学生会特别容易犯难，无从下手，或因找不准数量之间的关系，解答错误。但，当学生用数形结合的方法，先根据题目信息画图，再根据图，明确数量之间的关系，问题就迎刃而解了。部分学生的解答如下：

上图中，学生敢于用自己创造的图形解释数学，用自我创造的图表分析问题、解决问题，最终拨开云雾见天日，守得云开见月明，心境豁然开朗。同时学生在运用数形结合的思想解决问题的实践中，感悟到数学思想，提升了自身素养。

“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在问题解决中，构建数形结合思想，通过以形助数，使抽象问题具体化；通过以数辅形，使复杂问题简单化；通过数形结合，实现解决问题合理化、清晰化。数与形的相互转化、结合是重要的数学思想，在教学中教师要把数形结合思想滲透其中，把数学问题中的数量关系和空间形式结合，以形助教、以数辅形，达到逻辑思维与形象思维的完美结合，使问题化难为易、化繁为简，从而提高学生的解决问题的能力。

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