基于高中数学解题教学中的分类讨论策略分析

张羿嵩

摘 要：高中数学解题中经常会遇到分类讨论，例如在解不等式中，里面涉及有参数，必不可少的就是会进行分类讨论。其实分类讨论也不是特别复杂，那么这就需要学生多利用数形结合的思想，这样很多抽象的数据可以让他们具体化。另外，高中生还应当熟悉几种典型分类讨论题目的解题方法，这样每次做题的时候就可以做到心中有数。

关键词：数学分类；讨论思想；参数；数形结合；具体化；方法

一、分类讨论思想的必要性

分类讨论思想是高中自始至终贯穿的一条主线，学生需要充分了解分类讨论的必要性，下面我们从以下3個方面进行分析和研究。

（一）明确分类讨论的原因。在做题目的时候由于函数定义域的限制，所以必须在定义域中求得有效解，那么就需要在各个定义域进行分类讨论，必要的时候也可以多结合一下数轴、平面直角坐标系，可以将分类寄托在图像上，这样更加形象。

（二）熟练掌握分类讨论的方法。当给一个函数，他的参数不确定是，就需要对参数进行分类讨论，要将参数的一个大致范围确定出来，然后在确定的范围内然后进行分类讨论，这样参数的问题可以变成具体的数值问题。

（三）将分类讨论的结果进行归纳整理。在完成各个对象的分类讨论时，需要将求得的解进行归纳整理，这个时候也是需要自己细心的时候了，因为有些结果重复了，你就需要将重复的进行合并整理。

二、分类讨论在高中数学中的体现

（一）函数中分类讨论思想的体现。这种题目一般会以选择题和填空题的形式进行考察。一般分类讨论思想会和换元思想、数形结合思想、转化与化归思想进行结合。

例题：假定函数f（x）=x2+x，x<0-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围为a≦ 。

题目分析：此题考查的是分段函数的知识，然后运用换元的知识进行解决。

解答： ①

或者 ② 解得①：

-2≤？子<0，解得②？子≥0，所以？子≥-2，于是f（a）≥-2，就相当于a<0a2+a≥-2 ③ 或者a≥0-a2≥-2 ④ ，解得③：a<0，解得④：0≦a≦，综上所述a≦。

（二）导数中分类讨论思想的体现。这种题目一般可以分成两类：含参数变量和不含参数变量。一般来说含参数变量的难度较大。

例题：已知函数f（a）=acosa-sina，a∈[0，？仔，2]

若x<

分析：此题需要利用分类讨论进行分析。

解答：当a>0时，x<相当于sina-ax>0相当于sina-ay<0

令g（a）=sina-ca即g'（a）=cosa-c

当c≤0时g（a）>0，对任意a∈（0，？仔/2）恒成立

当c≥1时，对任意a∈（0，？仔/2），g'（a）=cosa-c<0所以

g（a）在区间[0，？仔/2]上单调递减，从而g（a）

当0

因为g（a）在区间[0，a0]上是增函数

所以g（a0）>g（0）=0所以g（a）>0对∨a∈（0，？仔/2）恒成立

当且仅当g∈（？仔/2）=1-（？仔/2）c≥0即0

综上所述：当且仅当c≤2/？仔时，g（a）>0对任意a∈（0，？仔/2）恒成立

当且仅当c≥1时，g（a）<0对任意a∈（0，？仔/2）恒成立

所以：若x

（三）数列中分类讨论思想的体现。这个题目一般会以大题的形式出现在试卷中，一般会有两问至三小问，一般来说，第一问比较简单，就是求一个数列的基本系数，都是根据公式来求得，求解的时候需要考生仔细一点。第二、三问难度可能大一点，会有分类讨论夹杂在其中。

例题：已知等差数列{bn}满足：

b1=2，且b1，b2，b3成等比数列。

（1）求数列{bn}的通项公式

（2）记Sn为数列{bn}的前n项和，是不是存在正整数n，使得Sn>60n+800？若果存在，求n的最小值；如果不存在，请说明原因

解答：（1）设数列{bn}的公差为d，根据题意可得，2，2+d，2+4d成等比数列，所以有（2+d）2=2（2+4d），解得d=0或者d=4.当d=0时，{bn}=2；当d=4时，bn=4n-2。

从而得到数列{bn}的通项公式为bn=2或bn=4n-2.

（2）当bn=2时Sn=2n显然2n<60n+800此时不存在正整数n，使得Sn>60n+800成立

当bn=4n-2时，Sn=2n2令2n2>60n+800，解得n>40所以存在正整数n，使得Sn>60n+800成立，此时n的最小值为41

综上所述：当bn=2时，不满足满足题意的n

当bn=4n-2时，存在满足题意的n，此时n的最小值为41。

综上所述，要想真正的把分类讨论思想彻底弄清楚，那么就需要多去练习这样的题目，在大脑里面建立自己的做题体系。导致分类讨论的原因有很多，数学概念本身具有多种情形，数学的运算法则、基本定理、公式的限制，图形位置的不确定性、变化等等都可能引起分类讨论。建议同学们在进行分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。做到上面所述的三个原则会对大家解题有很大的帮助，希望大家形成有条理、科学的数学思维。