“相似变换”思想方法下的数学教学思考

☉江苏省如皋市郭园初级中学 周冬梅

相似变化的思想方法是在具体物体“放大”或“缩小”中进行数学抽象得出的，与几何变换并列的相似变换是解决有关问题的工具，相似变换中所蕴含的理性思维能够更好地发展学生的能力与个性，使学生在丰富的现实情景中感受相似变换的必要性与数学学习的价值.教师在实际教学中应结合教学内容与学生特点贯彻和谐教学理念并因此促成学生学习效益的攀升.教学实录如下，供同行参考.

一、课前预习——自主探索

教师事先设计出“先行组织者”并引导学生进行充分的课前预习：

（2）如图3，你能作出图形F每边放大到原来3倍后的图形吗？你怎样画的？放大后的图形位置是唯一的吗？

（3）你是否能在放大或缩小的前后两个图形中发现改变和没有改变的都有哪些？你如何发现的？

图1

图2

图3

（4）图形经过放大或缩小变成新的图形的过程是否是轴对称变换？平移变换？旋转变换？为什么？

点评：这是一个包含新知识“生长点”且具备定向指导作用的“先行组织者”，学生在提前思考中获得了更多的思维碰撞并因此推动了课堂理性思维的节奏.

二、课堂讨论——合作研讨

1.汇报交流——矫正互学

汇报交流的引导性问题如下：

（1）对图形放大或缩小的原因是什么？

（2）根据题意将图3中的图形放大3倍并作图，大家是如何操作的？

（3）位置问题大家作何感想？

（4）图形产生的变化和没有改变的地方有哪些？

（5）位置是否唯一？

（6）属于什么变换类型？

点评：在学生进行一定思考基础之上引导学生进行汇报交流，能使学生在个性化的思维碰撞中实现“导富济贫”.

2.引导探究——交流合作

师：由此看来，具备现实意义的图形改变不仅仅是认识几何的工具，它在数学的研究中也是非常重要的，那么大家是否能够根据平移变换或旋转变换的表述来描述上述图形改变的本质特征呢？如果给它一个名称，大家觉得什么名称合适呢？

（学生陈述，教师及时进行补充）

师：相似变换运用图形描述也是可行的，大家觉得应该怎样根据原图形来确定改变之后的新图形呢？如图4，如果将△ABC的三边都缩小至原来的，如何画出新图形呢？大家想的办法越多越好.

图4

生1：△ABC处于4×6的方格组成的矩形内，可以先将这个矩形缩小，取出一个2×3的小矩形出来再对应描点连线就可以画出新图形了.

生2：取AB中点M，AC中点N，BC中点P，则△AMN、△MBP、△PCN、△MNP都符合要求.

生3：新图形还能画在其他地方.

师：大家在画图中可有什么感触或想法？生4：变换后的图形位置可以在任何地方.

生5：不看小方格，借助其他工具一样可以作图.

师：很好，相似变换和其他变换相比最大的区别就是图形位置没有限制.大家来想一想这样一个挑战性问题：图形相似变换最根本的特征就是保持图形的形状在变换前后不作改变，那么是否可以运用数量关系来刻画形状不变这一性质特征呢？大家可以从对应的角、线段等方面进一步观察并思考一下可有不变关系存在？

生6：对应角没有变化，不过线段变化了.

生7：放大或缩小了相同的倍数但它们之间的比值没有变化.

生8：周长之比和对应线段之比是相等的.

生9：面积之比应该也有一定关系.

生10：根据图4可观察出面积比应该是对应线段之比的平方.

师：同学们太棒了，看来大家对于图形的相似变换已经建立了很好的认知与理解.

点评：基于能力发展点、个性与创新精神培养点的有效探索与发现使学生的思维顺利上升到了理性思维的高级层面.

三、构建理论——综合概括

师生共同归纳整理：

（1）概念：将一个图形改变成另一个图形并保持其形状不变的图形变换叫做图形的相似变换.变换前后的图形叫做相似图形.

（2）确定相似变换后的新图像的方法：①借助方格纸；②借助作图工具.

（3）相似变换的性质：①图形中每个角的大小不会改变；②每条线段都会扩大或缩小相同的倍数.

点评：引导学生在充分活动与思考的基础上对所学内容进行总结，使学生在建构性学习与理解中对所学内容形成深入的理解.

四、尝试运用——检测评价

问题：

（1）观察图5中的图形并将其各边长扩大到原图形的3倍，在同一方格纸上画出与原图像位置不同的经变换所得的像.

（教师在学生的独立操作中进行巡视，并在大约2分钟后引导学生进行相互交流与评价）

图5

图6

图7

（2）观察图6中的Rt△ABC并将其每条边长扩大至原图形的2倍，放大后所得的图形与原图形面积之比是多少呢？周长之比又怎样？

（教师在学生的独立操作中进行巡视，并在大约2分钟后引导学生进行相互交流与评价）

（3）图7为浙江省航线图，大家想一想此图应该是该省在哪一变换中得到的像呢？请观察一下图中的比例尺，根据这一比例尺大家是否能够看出实际版图缩小的倍数呢？请大家根据这个图来计算一下杭州到宁波、温州两地的实际距离.

（教师在学生的独立思考与计算时进行巡视，大约2分钟后引导学生进行相互交流和评价）

（4）一位旅行者试图从沙漠中的A营地经过B地到达C地，他背着罗盘与计算器首先向北偏东37°方向行走了3km，到达了B地，然后他继续上路并向正西方向行走了5km并最终到达了C地.

①如果比例尺是1∶100000，你能画出该旅行者从A地出发途径B地并最终到达C地的旅行路线图吗？

②你认为你自己所画的路线图和实际路线图之间属于什么图形变换呢？缩小了多少倍呢？

③该旅行者返回营地时走了最短的路线，你能画出他返回营地的路线吗？请大家计算出该旅行者返回营地的具体方向与路程.

（教师在学生按要求思考、操作、计算的过程中进行巡视，并在大约3分钟之后引导学生进行相互交流与评价）

点评：在学生理解相似变换这一思想方法之后将其运用于实际问题的解决中，使学生在具备现实意义的土壤或背景中运用这一思想进行具体问题的解决，这对于学生的建构性理解与作图技巧的提高来说都是极为重要的，看似耗费很多时间的变式训练有效加强了学生对相似变换的认识.

五、反思总结——回顾思考

师：请看下列问题清单并作出回答：

（1）什么是相似变换？相似变换的学习可有什么意义？

（2）有哪些方法可以作出相似变换后的像呢？

（3）相似变换的性质一共有哪些？变换前后形状不变是什么原因？

（4）请联系轴对称变换、平移变换、旋转变换并分析它们之间的区别和联系.

（5）学习过程中涉及到了哪些思维与思想方法呢？你可有什么想法？

点评：以“问题清单”的形式进行课堂小结，有效驱动了学生对所学内容的回顾和思考，同时价值引导和自主构建相结合的理念也在问题设计与总结归纳中尽情展现出来.

六、课后延伸——自主研究

（1）基础题：教材中的作业题.

（2）提高题：总结轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换这4种变换之间的区别和联系.

总之，本节课的授课设计和过程都体现出了以数学知识发生发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程，对教学内容与教学价值理解和定位的准确也使数学教育的两重性特征尽情展现，学生在价值引导与自主建构相结合的教育教学中也对所学内容形成了更加深入的理解.H