立足基础 关注能力 引导教学*——浅谈2018年南京中考数学试题

☉江 南 大 学 附 属 实 验 中 学 庞彦福

☉江苏省无锡市东绛实验学校（中学部） 陈秋晓

☉山 东 省 肥 城 市 龙 山 中 学 李洪涛

一、试卷的整体情况分析

数学教育教学的目的是使学生掌握必要的数学知识，体悟数学学习过程中的基本思想方法，提升数学能力，增长数学智慧.中考是检测学生几年来在数学学习中获得的知识、能力与智慧，以及学生对数学的理解力、运用力及学习力的有效手段.2018年南京数学中考试题遵循《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》的基本要求，体现《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的基本理念，充分考查了学生的基础知识和基本技能，注重对学生的数学思想方法、创新意识与实践能力的考查.将数学能力的考查落实在学生层面上体现了“算”与“证”的本质.当然试卷上的“算”并不是死算，而需要有“运”的过程、“计”的方法；“证”是推理，是寻道，是发现.全卷采取多题把关、多题压轴，而且把关的大题切入点适宜，信度、效度、梯度合理，制高点具有挑战性，设问角度新，思辨空间灵动且丰富，能激发学生的好奇心和探究欲，学生的解答过程能够体现出不同层次的数学品质、素养和习惯，具有很好的效度和区分度.同时试题在坚守近几年的命题风格基础上，进行了适度的发展与创新，对知识和能力实现了宽视野、多角度、多层次考查，既考查了初中毕业生学习数学、认识数学的整体理解力，也考查了学生对所掌握基本知识的运用力、思维力，同时又兼顾了高中阶段选拔需要的可持续发展力.在“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”等板块设置合理，而且能够将“综合与实践”内容有机融入其中，把“四基”作为命题的重点，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个维度进行考查.不像有的试题命制风格是前半部分“送分”后半部分“送命”！整份试卷立意求新，层次分明，亮点纷呈，考查知识覆盖面广，是一份质量较高的考查数学能力的试卷.

表1 试卷考查的知识点分布

二、典型试题赏析

1.低起点，易上手，立足基础

初中阶段数学中的核心知识点是形成数学能力的重要载体和抓手.对学生数学学习的考核与评价首先体现在基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验四个方面，注重知识的直接应用.试卷中基础题占的比重较大，约为总量的70%.即使是后面的大题对大部分学生来说还是比较容易上手的.

例1 （第26题）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G.

（1）求证：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径.

图1

赏析：观察图形，对于第（1）问，学生容易上手，先根据“圆内接四边形对角互补”得∠FGD+∠FCD=180°，又由∠FGD+∠AGF=180°，得出∠FCD=∠AGF.再利用“同角的余角相等”得到∠FDC=∠FAG.根据“两角对应相等的两个三角形相似”证得△AFG∽△DFC显得自然合理.尽管是次压轴题，该问绝大多数学生能够拿到分数.第（2）问要求⊙O的半径，如何获得解题思路呢？其实方法较多，现举出两种解题思路.

图2

思路二：连接GC，先规避繁琐的运算过程.由“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知CG为⊙O的直径，要求半径，只要求出直径CG即可.在Rt△GDC中，已有CD为4，若能出现AG=AE=1，则问题解决.利用（1）△AFG∽△DFC，可得.又易证△AEF∽△DAF（当然也可证明△EDA∽△ADF），则，这样就由AD=DC，得出AG=AE，从而问题得到解决.

解决第（2）问的思路二减少了复杂的运算，但对学生的逻辑推理能力有了更高的要求，这样证明线段相等的思路也是常见的.该题综合考察圆、相似三角形的有关知识.从题目呈现的结构特点看，第（1）问是解决第（2）的基础、“梯子”.有了这样的“梯子”或铺垫就容易拾级而上.

2.高观点，重核心，突出主干

主干知识是中考命题者青睐的对象，在数学的核心知识的交汇处命题，有利于考查学生的数学素养及探究能力，有助于从知识考查走向能力立意.

例2 （第20题）如图3，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：

（1）∠BOD=∠C；

（2）四边形OBCD是菱形.

赏析：识别角的关系、识别特殊平行四边形（菱形），是初中数学的核心知识点，是重要内容.第（1）问，证明两个角相等，结合已知条件中的“∠C=2∠BAD”，可转化至证∠BOD=2∠BAD即可.

如何证明呢？方法是不唯一的.

思路一：题中“OA=OB=OD”属于“定点定长型”，易想到构造圆.点A、B、D是在以点O为圆心、OA为半径的“隐圆”上，如图4.根据“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”即可得到∠BOD=2∠BAD.

思路二：若“心中无圆”，依然容易想到：作AO的延长线OE，如图5.由“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”，不难得到∠BOE=2∠BAO，∠DOE=2∠DAO，从而证明出∠BOD=2∠BAD，于是问题得到解决.

图3

图4

图5

图6

第（2）问证明四边形OBCD是菱形.根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.因此，证法1：连接OC，如图6，先证△BOC≌△DOC，得到∠BOC=∠DOC、∠BCO=∠DCO.再根据（1）∠BOD=∠BCD，可得∠BOC=∠DOC=∠BCO=∠DCO.从而得到OB=BC=CD=DO，实现由“四边形”到“菱形”的证明.证法2：若连接OC、BD，由“OB=OD、CB=CD”得OC是BD的垂直平分线，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，从而可以证明.这一过程中，容易忽略是没有先证明出“四边形OBCD是平行四边形”，这是推理过程中不完备的地方.其实，菱形的定义也是识别菱形的方法，“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，因此，还可运用证法3：先证四边形OBCD是平行四边形，再找出一组邻边相等.

题目解答方法越多，学生答题时选择的余地就较大，从而就越能考查出学生思维能力、理解能力、思辨能力以及运用数学知识解决问题的能力.

3.识图形，重关联，彰显本质

选拔性考试离不开一定量的难题来实现区分，考试中的所谓难题，目的是将不同层次的学生区分开来.这样的题目在命制和设置的过程中，或是综合性较强，或是运用的知识点较多，或是需要深度的思考与理解.

例3 （第16题）如图7，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为______.

图7

图8

赏析：求圆中的一条弦长，从题目到图形，构图自然、妥帖，为学生所熟悉，考查学生对基本图形的识别和逻辑推理能力.多数学生可能会想到平时学习中常用的解题策略，譬如构造“垂径三角形”.如何构造呢？由条件“相切”自然而然联想到“垂直”，是一种常用的切入方法.连接OE并反向延长交CD′于G，如图8，便可构造出所需要的目标三角形Rt△OGC.由旋转性质可知，CB′=CB=4=EG，由半径OE=OC=CD=，进而求得OG=，再根据勾股定理得出GC=2，然后根据垂径定理求得CF=2CG=4，即为答案.

此题以几何图形的运动——旋转变换为载体，结合矩形、圆和直角三角形，利用几何知识进行推算.作为填空题的压轴题，也是客观题的压轴题，在计算并不复杂的前提下，覆盖知识广泛，较好地考查了学生的综合能力.图形变换的方法，融入数学核心思想方法，突出考查学生的思维过程和数学素养，这种理念与PISA测试的基本思想相吻合.

4.从方程，至函数，厘清推算

方程、函数是刻画现实世界数量关系的有效模型，学习方程、函数，就要会探索简单实例中的数量关系和变化规律，能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析，用适当的函数表示法（包括图像）刻画简单实际问题中变量之间的关系，结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行合理讨论，从定性分析到定量刻画.

例4 （第24题）已知二次函数y=2（x-1）（x-m-3）（m为常数）.

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？

这个试题立意新颖，构思巧妙，极富创意，蕴含着丰富的数学内涵和思想方法，考查了学生对信息的提取与处理能力、问题的探索与分析能力、模型的建立与选择能力，考查学生对函数本质的理解水平，同时能很好地考查出学生的数学素养和数学基本功.

5.探与思，理中运，孕育过程

《标准》指出：数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法”.数学学习过程是学生在特定的数学目标的指引下，进行数学探究和发现活动的过程.

例5 （第27题）结果如此巧合！

下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图9，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积.

解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x.

根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.

根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2.

整理，得x2+7x=12.

图9

小颖发现“12”恰好就是“3×4”，即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索.

已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n.

可以一般化吗？

（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn.

倒过来思考呢？

（2）若AC·BC=2mn，求证∠C=90°.

改变一下条件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积.

赏析：该题考法新颖，贴合学生数学学习的已有经验，考查学生数学学习力，需要学生具有阅读理解能力、迁移能力和创新能力，旨在引导学生主动探究的学习方式，促进学生终生学习能力的发展.第（1）问，特殊问题一般化，不仅能使命题的结构和规律更为清晰，同时又是下面问题的“药引”，肯学习的学生是不难上手的.第（2）问，逆向思考，引导学生合理思辨，探究逆命题的正确性，会学习的学生是能够尝试的.第（3）问，是前两问的升华，既要通过前两问获得猜想结果，又要找出问题的突破口和切入点，善于学习的学生是可以乘胜追击的.通过“问题一般化”“倒过来思考”“条件变式”来完成课题学习.公平合理地考查学生的现场学习能力，引导学生学会解题后的反思，不断积累学习和解题的经验.“授人以鱼，不如授人以渔”，学生在自主学习“方法示范”的基础上，为解题打开思路.解题的过程就是问题转化的过程.

三、教学建议

1.注重基础，凸显数学理解力

学习数学重在理解，理解就必须打好基础.譬如运算往往是许多学生考试中的“关”和“坎”.基础的是基本的、重要的，教与学只有立足基础、夯实基础，才能循序渐进，不断进步与提高.即使是课外拓展与延伸也往往是功在课内，问题在课外，题根在课内.教学中，要特别关注培养和发展学生学习数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.教学中不能忽略了代数的变形、推算，要夯实运算“童子功”；厘清几何的推证与逻辑关系，要强化推理“命根子”.

2.关注过程，体现数学运用力

让学生体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.数学思想方法是数学的精髓和灵魂，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，要在平时的教学中逐步渗透，而且让学生多加体悟，要能够应用到数学学习和问题解决中，在学习中反思，在反思中改进，在学习和应用的过程中不断积累进一步学习的经验.

3.回归本质，彰显数学学习力

学习数学不能单纯依赖记忆与模仿，而需要感悟与思考.注重培养学生的探究能力.重视概念、方法的形成过程，使学生在参与数学活动的过程中理解、巩固、应用和拓展新知，数学素养是一种个人能力，主要体现为“理解数学、运用数学、创新数学”的数学能力.学会用数学的眼光观察现实世界（数学抽象、直观想象）、会用数学的思维思考现实世界（逻辑推理、数学运算）、会用数学的语言表达现实世界（数学建模、数据分析），教学中让学生经历知识的建构过程，突出对数学本质的认识和理解，让学生学会探究，让学生成为善于发现的智慧人.

4.固化知识，提升学生解题力

通过不断思考，让学生在掌握所学知识技能的同时，感悟知识的本质，积累思维和实践的经验.关注学生的合理解题、快速解题.解题教学中要关注学生是怎样获得解题思路的，关注学科本质，注重通性通法.通过解题把握数学本质，体会隐含在其中的数学思想方法，感悟数学的认知结构.解题教学不能以题论题，要培养学生的问题意识，要以知识为载体培养和发展学生数学学习的能力与潜力，以提升学生数学综合素养.