利用递进性学习活动激发“翻转课堂”活力*——以“三角形的中位线”教学为例

/潘建明 高如玉

学生的新知是通过主体的学习活动来建构的，而认知活动是与情感、意志活动及个性心理倾向相互促进、协同发展的，同时，学生的认知活动总是遵循从具体到抽象、再到具体的顺序，是螺旋式上升的。“翻转教学”的核心是将浅层次学习（理解、识记、简单应用）放在课前，将深层次学习（分析、评价、创建）放在课内，这大大地激发了学生探究新知能的兴趣，也培育了学生学会学习的能力和乐于学习的热情。因此，我们要改变教学策略，设计出既符合数学学习规律又符合学生身心特点的递进性学习活动，激活学生的主体意识，最大限度地调动学生参与学习活动的主动性、积极性与创造性；激活学生思维，不断提高学生创造性思维能力，去满足学生个性化学习和个性化发展的要求。笔者所在的江苏省乡村初中数学骨干教师培育站，在近两年的翻转教学实践中取得了丰硕的成果（曾获2017年江苏省教学成果一等奖），其中常州市武进区礼嘉中学的高如玉老师执教了一节省级公开示范课《9.5三角形的中位线》（苏科版数学八年级下册）很具有代表性，现以此为例，供同行们参考。

一、预学体悟生惑，促进以学定教

本节教学内容是在学生已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容基础上的应用和深化，在三角形中位线定理的证明及应用中，渗透了化归等数学思想与方法，这对提升学生的数学核心素养和拓展学生的思维有着积极的意义。本节课可将学习过程分成建模学习活动、深化学习活动、运用学习活动三个递进式的阶段。本节课的教学指导思想是从学生实际认知水平及知识结构出发，经过有效精进的数学活动让学生自主获取新知。我们利用翻转教学的优势，创设有效精进的学习活动，拉近数学知识与学生知能现实之间的距离。先让学生经过实验、观察、猜想、归纳，得出结论，然后经推理论证得到定理，最后进行相关应用。

学习活动1：课前预学习与问题思考。

（1）课前动手完成将三角形剪一次（直线段）后拼成平行四边形，你有什么发现？（2）预习书本后观看微视频。（3）掌握三角形中位线定义，并完成导学单（进阶训练单）。（4）思考：猜想三角形的中位线有怎样的特性？你能通过哪些方法证明？

学习活动2：预学习成果展示与分享。

（1）课前学习成果交流。

师：同学们会画三角形的中位线了吗？任何一个三角形有几条中位线？

生1：取三角形两边的中点，然后连成线段，就是这个三角形的一条中位线。

生2：任何一个三角形都有三条中位线。

师：我们选其中一条三角形的中位线来研究它的特性，同学们知道哪些关于三角形中位线的知识了？

生3：三角形的中位线在位置关系上平行于它所对的第三边。

生4：三角形的中位线在数量关系上等于它所对的第三边边长的一半。

师：同学们学得很好！三角形中位线的特性你们是怎么发现的？

生5：将三角形剪一次（直线段）拼成平行四边形后得出的。

生6：通过添加辅助线证明得出的。

（2）课前学习质疑和提出问题。

师：若是没有书上的提示，我们该如何研究三角形中位线的特性？

生1：要找一条线段的特性，一般从位置和数量两个方面去思考。

生2：我可以借助工具测量一下。

生3：测量的结果一般有误差，所以只能借鉴这个结果，但说明结论的正确性还是要通过严格的证明。

生4：看书后，我能理解这种方法的正确性。但是我怎样会想到书上这样添加辅助线的方法？

师：同学们的疑惑就在这里。下面我们就围绕“巧用辅助线证明三角形中位线定理”进行研究。

【设计意图】数学教学不仅要使学生掌握数学知识和技能，还要学会数学方法和思维，体悟数学的价值。学生通过动手操作和微视频学习后能较好地掌握概念，但知其所以然比知其然更为重要，所以教师要根据学生的困惑，提出问题，激发学生的求知欲，这也是翻转课堂要解决的首要任务，让学生能发现问题，并带着问题参与课堂，提高了课堂教学的目标性和实效性。

二、借助认知冲突，促进自觉生成

数学核心素养的培育重在提升学生的关键能力和必备品格，这些能力和品格的培育离不开学生在自主、合作、探究学习基础上的深度学习。在课堂教学中要让学生自主学习、探究学习，激发他们的学习兴趣和动力，同时通过小组讨论、多媒体演示、学生展示等以学生为主体的活动形式，发挥学生的积极性和主动性，让课堂“活”起来，让学生“动”起来。

学习活动3：在认知冲突中突破疑点。

师：我们通过图形观察或者测量，可先猜想出三角形中位线与第三边的关系。你在没有观看微视频或书本的前提下会如何思考？

生1：用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补证平行线。这里条件都不够。

生2：刚学过的平行四边形也有平行线，可构造平行四边形。

师：同学们真棒，下面我们就以小组为单位，探索一下“加倍法”和“折半法”，是否都能构造平行四边形而证明结论？（教师巡视）

师：小组交流成果。

生4：我们小组用“加倍法”，把短线段DE延长一倍，可以构造平行四边形。并且证明上述两个结论。（如图2）

生5：我们小组也是用“加倍法”，但是通过点C作CF∥AB，同样可以构造平行四边形。并且证明上述两个结论。（如图2）

生6：我们小组采取的是“折半法”，取长线段BC的中点，虽然也构造了平行四边形，但我们没法证明它。（如图3）

生7：我们小组也是用“折半法”，是过E点作EF∥AB，与BC相交于点F，也是构造平行四边形，却没有条件证明。（如图3）

师：“折半法”看着很简单，为什么证明不了平行四边形？观察哪个条件起不到作用？有什么办法弥补吗？

生8：只能用到一个中点，另一个中点没有用到。

图1

图2

图3

【设计意图】设计有效的活动，要提出恰当的问题，给学生提示学习和探究的线索，下放学习的权利。不仅要让学生知道数学知识，更要关注学生是如何知道的，只有在不断地探索过程中产生认知冲突，才能引导学生追根溯源，寻找答案。课堂要成为他们探求知识的场所，激发学生的好奇心，充分发挥出学生的潜能，最大限度地满足其成功的愿望和要求，形成积极、主动、灵活、独特的思考问题解决问题的能力，培养他们勇于探索的精神。

学习活动4：合作探究促进思维发散。

师：那不妨作两条辅助线，把另一个中点也利用起来。同学们一起帮助这两组同学思考。

生9：我们小组尝试出来了，先过E点作FE∥AB，与BC交于点F，再过A点作AG∥CB，与FE的延长线交于点G，这样两个中点都能用到，并且构造平行四边形，并证明结论。（如图4）

师：同学们集思广益，想出来这么多种证明的方法，老师也提供一种供大家借鉴。

分别过A、B、C作DE这条直线的垂线，垂足分别为M、N、G，构造矩形得证。（如图5）

请同学们挑选一种证明方法，写下完整的证明过程。

图4

图5

【设计意图】通过问题串组织学生交流，让学生结合自己课前的“先知”“先学”“先研”和遇到的“不知”“半知”“疑问”等展开讨论与研究，学生由“被学”变成“主学”，快乐地体验学习、发现学习和合作学习。很多小组想到了“折半法”，可就是证不出平行四边形，在这个关卡，教师进行了适时点拨，翻转课堂不是让教师退出课堂阵地，而是更需要教师抓住学生问题的本质给予指导，通过小组合作讨论，带动整个班级的研讨氛围，一起分享找到答案后的喜悦，感受辅助线的神奇所在。

通过交流活动，让学生感受问题解决策略的多样化，比较问题解决多样化策略中各种方法的特点，学会优化方法。在本节课的翻转教学过程中，三角形中位线的定义和定理的学习不再是课堂的重点，在课前微视频学习时就能掌握，课堂主要解决的是定理证明的方法归纳、定理的应用以及辅助线的构造。

三、综合变式引领，拓宽应用视野

为了促进学生对三角形中位线定理的应用意识，提升能力水平，我们选取了两道经典的例题来拓宽学生对“三角形中位线定理的应用”视野，在教学过程中，采用倒序、预设悬念的方法，将学生的思维引向深入，先让学生看变式题，引导学生提出问题，尝试寻找问题解决策略和依据，为学生获得再学习、再发现和再研究的发展境界奠定基础。

学习活动5：合作探究促进思维发散。

变式：如图6，在四边形ABCD中，E、F分别是 AD、BC的中点，且 AB=CD，求证：∠BGF=∠CHF。

引例：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC 的中点，连接 EF，求证（如图7）

【设计意图】上面的变式题对学生来说一时有点找不到求证的方向，两角既没有位置上的特殊性，又找不到全等的三角形，为此设计了一道引例。

生：联想到构造三角形中位线，利用中位线性质解决问题。

师：现在这道题的中点在四边形的边上，我们怎么往下思考？

生1：我们可以通过辅助线构造三角形。

生2：可以延长BA、CD构造三角形，也可连接AC或BD构造三角形。

生3：第一种方法不可行，因为中点E不在三角形的边上。我认为第二种可行，就是两个中点分别在不同的三角形内了，如何解决？

师：这位同学观察得非常细致，并提出了自己的问题，辅助线的添加要在充分利用已有条件的基础上进行。

生4：既然要构造三角形的中位线，可取三角形AC的中点M，连接EM、FM，就构造了两个三角形的中位线。（如图7）

图6

图7

师：我相信添加辅助线后的题对大家来说就容易解决了。请同桌互相说一说解题方法。

【设计意图】有效教学，需要教师充分把握学情，去设计和组织个性化的、切合学生实情的学习活动。本题的探讨重点是辅助线的添加方法，让学生成为活动的主体，让学生感受“中位线”的产生并非无中生有，而是自然生成、有理有据的，在辅助线探寻的过程中，培养学生的学习能力，同时积累基本活动经验，以达到翻转教学课内的分析、评价和创建的深度学习的目标。

在翻转教学中课堂是知识内化的主阵地，学生最大的困惑就是，怎样想到作辅助线证明三角形中位线定理，因此，教师对方法的提炼和指导就尤为重要。由于学生课前的自主学习，课上的问题就更加具有目的性，并且在探究问题的过程中，通过自主探索，提高了学生独立学习的能力，再通过小组合作，在相互借鉴和学习的过程中拓展对知识的理解深度。

三角形中位线定理的应用中如何构造中位线，是本节课要突破的难点。在整个探索活动中，让学生多角度、快节奏地去认识教学内容，可以达到事半功倍的教学效果。通过变式的引领，使学生很容易发现解决问题的规律、找出解决方法，学生学得轻松、兴趣浓厚、精神状态极佳。

总之，本节课虽然容量较大，但由于采用了翻转教学，精心策划了5个递进性的学习活动，加强活动过程的展示，所以达到了良好的教学效果。这让我们深刻体会到只有学习活动有效，翻转教学才会具有活力。