具有比率功能性反应的脉冲鼠害防治系统

胡杰，刘娟

(1.山西农业大学 软件学院，山西 太谷 030801； 2.山西农业大学 文理学院，山西 太谷 030801)

鼠的种类繁多，适应能力强，孕期短，产子率高，数量可在短时间内迅速增加。当鼠类数量超过经济临界值时，会造成很大危害，简称为鼠害。在农业上，害鼠几乎啮食所有农作物，如水稻、马铃薯、小麦、玉米、蔬菜、大豆等粮食和经济作物；在林业上，害鼠主要啃咬树种、成树、幼苗等，影响森林更新，固沙植树，绿化环境；在牧草业上，害鼠主要大量啃食牧草，破坏土壤植被，使草场退化，土壤沙化。鼠害不仅对农业，林业，牧草业造成危害，而且会对农业建筑物和一些农田水利设施造成很大危害。故对鼠害的控制刻不容缓。常用的方法有以下几种：一是用捕鼠夹、自制土箭等机械灭鼠的物理防治，常用于仓库，庭院，作为辅助工具；二是喷洒磷化锌、杀鼠灵等化学毒饵的化学防治，虽能在短时间内能大面积杀死害鼠,但是毒性会威胁人类及畜类的安全，污染环境，还会使害鼠产生抗药性；三是定期投放天敌(黄鼠狼、蛇)、投放仅对鼠类有杀伤力而对人畜无害的微生物病原体、使用不育剂等的生物防治，虽无污染性，但是效果不能立刻显现。所以，结合生物防治的无污染性和化学防治的快速性，一般采取综合鼠害治理。

由于投放天敌和喷洒毒饵是不连续的，但是投放和喷洒的瞬时会使害鼠数量和天敌数量发生很大变化，故引入脉冲微分方程[1～7]来研究害鼠防治系统。许多数学学者研究了被捕食者和捕食者之间的功能性反应，如Holling-I， Holling-II，Holling-III，Ivlev等功能性反应函数但绝大部分功能性反应仅是食饵密度的单调功能性反应函数[1,3,5]。事实上由于生物系统的复杂性很多功能性反应函数还依赖捕食者的密度，同时也不一定是单调函数，比如比率依赖型[8]功能性反应。

(1)

故本文在不同固定脉冲时刻分别投放毒饵和天敌的具有比率依赖型功能性反应的如下脉冲微分方程：

(2)

1 预备知识

当系统(2)中x(t)=0时，有：

(3)

由脉冲微分方程的不动点定理和频闪映射，得到系统(3)的周期解为：

进而得到相应的解为：

引理1.1[9]系统(2)前两个方程的右端函数的光滑性使得解存在且唯一。

引理1.2[10]设z(t)=(x(t)，y(t))为系统(3)的解，且初始条件z(0+)≥0，则对于所有的t≥0有z(t)≥0。若初始条件z(0+)>0，则对于所有的t≥0，有z(t)>0。

综上，可得系统(2)存在鼠害灭绝周期解(0,y(t))。

2 鼠害灭绝周期解的稳定性

定理2.1 若参数满足

(4)

(5)

令

经简单计算，可得如下基解矩阵：

则系统(2)中的脉冲条件变为：

故

为单值矩阵的特征值。由脉冲微分方程的Floquet定理知：

定理2.2 若系统(2)中参数满足

(6)

则系统(2)的鼠害灭绝周期解是全局渐近稳定的。

证明：由系统(2)知：

由比较定理知：x(t)≤u(t)，其中有：

故当t 充分大时，对任意的ε1>0，均有x(t)≤K+ε1。

简单起见，设x(t)≤K+ε1对任意ε1>0均成立。

(7)

类似地，可假设(7)式对t>0成立。

由系统(2)知：

经计算得:

故

x((n+l)T)≤x(lT)ηn→0(n→∞)

对于t∈[(n+l-1)T,(n+l)T]，有：

0≤x(t)≤x((n+l-1)T)(1-p1)erT，

故x(t)→0(t→∞).

由比较定理知：

(8)

由引理1.3知：

由式子(8)知：

定理得证。

3 数值分析

进一步，取参数r=25，K=1.5，d=0.15，p1=0.9,p2=0.1,u=8,k=0.5,ω=0.6,c=1,m=0.5,x(0)=1，y(0)=0。经简单计算可得T*≈4.6。用Matlab软件进行数值分析，当T=2，从图1和图2中容易看出，害鼠数量经过一系列震荡很快趋于0，而天敌数量不停的周期性震荡最终趋于稳定。同样地，当T=5时，由图3和图4知，害鼠和天敌都共存，并且呈周期性震荡，此时系统(2)是稳定的。

图1 T=2时鼠害种群的时间序列图Fig.1 Time sequence diagram of harmful rodent pest population when T=2

图2 T=2时天敌 种群的时间序列图Fig.2 Time sequence diagram of natural enemy population when T=2

图3 T=5时鼠害 种群的时间序列图Fig.3 Time sequence diagram of harmful rodent population when T=5

图4 T=5时天敌和害鼠的相图Fig.4 The phase diagram of natural enemy population and harmful rodent pest when T=5

4 结语

中，可以根据农业、林业、牧草业害鼠的具体情况，采取相应的生物防治和化学防治相结合的综合鼠害治理方法，选择相应的参数p1、r、c和m，从而得到临界值T*。选择T