倾斜荷载下的地基边坡极限承载力分析

吴建平

(江西省鹰潭市水利电力勘测设计院，江西 鹰潭 335001)

作为经典土力学的三个主要领域之一的地基承载力问题，虽已被全世界学者不断研究数年，甚至是数十年，但是在实际工程中，依旧存在一些问题无法完美的解决。在如今我国这个高土地利用率的国度，倾斜荷载作用下的地基承载力计算在岩土工程、土木工程甚至是水利工程中就尤为突出[1-4]。

目前学术界对以上问题越来越重视，已经有不少学者取得了一定意义的成果，并通过不同的研究手段(物理模型、理论推导等等)[5-8]得到了特定条件下地基极限承载力的计算方法和公式。对此，根据不同的情况(土体材料参数、荷载施加方法等)采用不同的计算方法和公式，并且地基承载力问题作为工程设计重要因素，所以采用科学合理的计算方法将有助于工程建设事业。因此，本文在前人的研究基础上，采用理论计算和数值计算结合的手段，分析了边坡坡角对倾斜荷载下条形地基极限承载力的影响。

1 地基极限承载力分析

1.1 Terzaghi公式

地基处于稳定与破坏临界点时所能承受的最大承载力即为地基的极限承载力[9，10]。早期只针对水平地基极限承载力进行研究，随着学术的不断深入与改进，Terzaghi公式进入公众视野，并不断得到认可，并且广泛被应用，其表达式如下：

(1)基础埋深不为0时：

(1)

(2)当基础埋深为0时：

(2)

式中：Pu为地基的极限承载力，kPa；Nγ、Nc、Nq为不同的水平地基极限承载力系数；γ为土体的重度，kN/m3；b为地基承载力宽度，m；q为均布荷载大小，kPa；c表示土体材料的粘聚力参数，kPa。

水平地基极限承载力研究在不断的完善与突破后，学者们逐渐关注边坡与地基的结合形式以及荷载形式，并对其新型结构形式的极限承载力进行研究。

1.2 倾斜荷载下的极限承载力

在倾斜荷载作用下条形基础下的二维机动地基土许可单侧剪切破坏模型如图1。根据相关参数并通过扇形条分原理进行计算，最后能够得到一条潜在破裂面。

其中，B为基础的宽度，m；n为整个地基的扇形条分数，可视为n个三角形块体；αi为任意块体的顶角，°；βi为任意三角形土块底边与条间间断面的夹角，°；αj为第j块块体的顶角，°；βj为第j块三角形土块底边与条间间断面的夹角，°。

图1 条形地基理论计算模型

(1)根据几何关系以及正弦定理计算间断面长度和潜在破裂面长度：

(3)

(4)

任意块体的重力为：

(5)

式中：Li为第i块三角块的间断面长度，m；di为第i块三角块的破裂面长度，m；γ为土体的重度，kN/m3。

(2)基础在滑移过程的速度为：

(6)

块体在潜在破裂面上的速度为：

(7)

块体间断面上的速度为：

(8)

(3)通过倾斜荷载、均布荷载以及自身重力可以计算其外功率，公式如下：

(9)

(10)

(11)

图2 条形地基速度场计算模型

式中：Ws、Wq、Wp分别表示为重力功率、均布荷载功率以及极限承载力Pu的功率，J；ψ为内摩擦角，°。

根据内能耗散原理，视条形基础为刚性，土体为理想材料，则视为内能消散只存在条分间断面以及破裂面上。

破裂面上能量消散功率公式为：

(12)

(13)

式中：Sp、Sd分别表示为破裂面和间断面上的能量消散功率，kJ；c表示土体材料的粘聚力参数，kPa。

通过极限分析上限以及虚功原理得到：

Ws+Wq+Wp=Sp+Sd

(14)

(15)

因此，可以得出地基的极限承载力Pu是关于潜在破裂面破坏角β的函数，因此可以通过以下公式计算极限承载力以及潜在破裂面：

(16)

2 数值模拟

2.1 模型建立

根据某工程为背景，利用大型岩体有限元数值模拟软件(MIDAS-GTS NX)建立条形基础地基计算模型应该适当的简化，研究其主导因素。因此本次模型将从以下几个方面进行简化：

(1)边坡材料采用平面应变问题进行模拟；

(2)坡面采用光滑坡面，即直线处理；

(3)基础为条形基础，荷载在模型中可视为直接加载在坡顶面上，并采用均布荷载。

具体简化模型见图3。

其中Q为顶部面施加均布荷载，kPa；荷载作用方向α为45°，B为荷载作用宽度(即条形基础长度)，m；土体材料采用摩尔库伦模型，其γ为容重，kN/m3；c为粘聚力，kPa；φ为内摩擦角，°；E为弹性模量，MPa，取值为120 MPa；υ为泊松比，取值为0.25。

图3 简化模型

本次模型为均质土质边坡，边坡模型的尺寸参数见简化模型。为研究其边坡坡角对倾斜荷载下条形地基极限承载力的影响，对边坡坡角进行改变，建立不同坡角大小的计算模型，即模型从水平地基(坡角为0°，即模型为L×H1=200 m×20 m)、坡角为10°边坡地基、坡角为20°边坡地基，一直到边坡坡角为60°边坡地基，总共7个模型。

2.2 边界及计算工况

将以上7个简化模型分别建立有限元模型，并通过有限元软件进行网格划分，统一网格大小为2 m；有限元模型中的两侧约束水平方向的位移，底部约束水平方向和竖直方向的位移；计算工况设定为上部条形基础区域施加均布倾斜荷载(α=45°)，并不断等量增加均布荷载，当模型计算达到失稳状态后停止计算(本次有限元计算施加最大荷载为400 kN/m)。

2.3 计算方法

本次采用有限元强度折减法对施加均布倾斜荷载下的边坡模型安全系数进行计算。

3 分析及讨论

3.1 倾斜荷载下地基边坡极限承载力数值分析

通过有限元软件对以上模型计算可得对应不同坡角大小下地基的安全系数，并通过安全系数为1.00时施加的荷载作为倾斜荷载下地基极限承载力。总而言之，在边坡高度和基础上倾斜荷载一定的情况下，坡角越大，其安全系数越小；在同一模型下，随着基础上的倾斜荷载的增加，其安全系数逐渐降低。图4为不同坡角下模型在倾斜荷载与安全系数之间的关系曲线。

图4 倾斜荷载与安全系数关系曲线

由图4可知，当条形基础下地基的坡角由0°逐渐增加到60°时，采用有限元强度折减法计算，随着条形基础上部倾斜荷载不断增加，将逐渐使地基边坡的稳定性降低，即地基边坡的安全系数逐渐变小。

当边坡在没有发生失稳破坏以前，即安全系数大于1.00时，地基边坡角度越小，随着倾斜荷载的等量增加，安全系数降低越缓慢。可能是因为地基边坡坡高一定，角度越小，坡面越缓，越接近地基的性质；而地基边坡坡角越大，其性质越接近边坡，在相同材料参数及倾斜荷载下，边坡相对于地基更容易破坏；同时地基的初始安全系数相比边坡的安全系数更高，在等量倾斜荷载作用下的变化量更大。

综上可知，本次有限元数值模拟能够得到地基边坡安全系数与施加在基础上倾斜荷载之间的关系，并通过其关系曲线能够计算出倾斜荷载下不同坡角地基边坡的极限承载力。

3.2 倾斜荷载下地基边坡的极限承载力计算

通过以上模型的建立，并通过有限元数值计算以及数据处理可以得到倾斜荷载下不同地基边坡的极限承载力，即根据数值模拟计算结果，计算出当地基边坡的安全系数为1.00时所对应的基础上部倾斜荷载大小。同时根据1.2节中倾斜荷载下的极限承载力计算出地基边坡的极限承载力大小，具体数据见表1。

表1 倾斜荷载下地基边坡计算承载力大小

根据理论计算和数值模拟计算结果显示，两者计算结果误差相对较小，最大误差为6.48%，因此有限元数值模拟能够较为准确的计算出倾斜荷载下地基边坡的极限承载力大小。

根据数值计算以及理论计算得出的倾斜荷载下地基边坡极限承载力，可以看出随着地基边坡角度的增加，其极限承载力不断减小；并且随着坡角增加的越大，其减小程度越大。图6为倾斜荷载下边坡坡角与地基极限承载力变化曲线。

图6 倾斜荷载下边坡坡角与地基极限承载力变化曲线

4 结 论

(1)通过有限元强度折减法进行数值计算，能够得出地基边坡在失稳破坏前，等量增加倾斜荷载，其安全系数减小幅度随着地基边坡角度的增加逐渐变缓；

(2)通过有限元数值模拟以及理论计算公式都可以得到倾斜荷载下地基边坡的极限承载力大小，并且两者的误差较小，鉴于计算简易程度可得，利用有限元数值计算地基边坡的极限承载力更加简单；

(3)地基边坡在倾斜荷载作用下，随着边坡角度的增加，其极限承载力逐渐减小，并且坡角越大减小幅度越大。