反思提问：初中数学深度学习的基点

严兴泉

一、反思数学知识的理解，提出问题

数学的概念、性质、方法等数学知识是学好数学的基础。在日常的数学教学中，若能使学生养成反思的习惯，常想：“对于数学知识的理解还存在哪些问题？”、“哪些概念不太明白？”、“哪些性质、方法还没弄清楚？”、“哪些知识还可作进一步的探究？”，那么学生提出的问题不会少，而且有的问题的质量也相当高。

例如，我们观摩一位初中教师讲授圆幂定理时，在研究完了圆内两条相交弦的问题后，学生思考并提出问题：⑴当有一条弦通过圆心时结论是否成立？当两条弦互相垂直又怎样？（从而引导学生得出相交弦定理的推论）⑵当交点在圆的外部时又是怎样？通过探讨分析得到了割线定理；在研究割线定理时，应用运动观点去思考：有割线定理推出切线长定理，并弄清它们间的联系等。⑶再反过来思考，能否利用割线定理来研究推导切线长定理？课堂上，经过师生互动、分析探究，最终得到非常圆满的结论：学生理解和明确了相交弦定理、割线定理和切线长定理具体内容和相互关系，并能较好的去应用这些定理来解题。这样，学生对圆幂定理这一内容的理解就会铭记在心、难以忘怀，也会准确应用解决相应问题。

二、反思数学问题的解决，提出问题

学习数学离不开解题。乔治·波利亚“怎样解题”中有四个步骤：“理解题目——拟订方案——执行方案——回顾”，其中“回顾”即解题后的反思，这是其中一个极其重要的环节。学生如能高度重视解题后的反思，则提出的问题也将有许多。反思解题方法，可提出多种解法，分辨哪种解法优？哪种解法劣？反思解题过程，可提出是否有错误？产生错误的原因是什么？怎样纠正？反思解题思路，可提出解题过程是繁还是简？是巧还是拙？为什么？

例如，有这样一道题：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知

球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。⑴问此球能否投中？⑵在出手角度和力度都不变的情况下，小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈？

学生的解法为：（1）易知抛物线的顶点坐标为（4，4），球

出手时的坐标为，易得抛物线解析式为

，当x=8时，，所以此球不能投中.（2）设解析式为

，代入点（8，3），得，所以

当x=0时，.

上述解法是正确的，我引导学生课后再反思一下，还有其他的解法吗？也许会茅塞顿开，另辟蹊径。后来有学生告诉我有简便方法：因为抛物线的对称轴是x=8，篮球出手时的位置和篮圈与对称轴都相距4米，所以这两个点是关于对称轴对称的，它们的纵

坐标应该是相等的，而，所以球不能投中；同理，要想球能投中，则让球出手时的高度等于3米时就能将篮球投入篮圈。这个方法非常简便，我及时表扬了这位学生。

通过让学生探讨反思得出多种解法，在解题中发表见解、提出猜测，使学生置身于自我再造的情景中，从多角度解决问题，享受创新的乐趣。

三、反思原问题，提出新问题

数学问题（包括数学命题）是数学的核心部分。数学中的问题有许多，如能经常有意识地引导学生对原问题采用一定的演变的方法和策略，则可以创造出更多有意义的问题，以引导学生走向数学的深度学习。

（1）推广与引申，数学问题的推广，就是将原问题推向更具一般化的问题；数学问题的引申，就是将原问题通过类比、联想、逻辑推理等延伸出与之紧密联系的新问题。解题之后，进行推广、引申，不仅可以培养学生的创新能力，还能帮助学生洞察本质，提高认识，居高临下，跳出题海，走向深度学习。

例如，在学习勾股定理逆定理时，引导学生理解，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；有学生就马上问：当a2+b2≠c2时，△ABC会是什么形状？这个问题问的很好，说明这个学生在反思，我立即鼓励他：这个问题你课后研究一下，看看会是什么形状.后来这个学生告诉我当a2+b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2（2）换位和否定，将原问题的条件与结论互换，就可以提出逆问题。例如，从原命题：“已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，求证：△ABC∽△CBD∽△ACD”，可以提出其逆命题：“已知Rt△ABC中，D是斜边AB上的一点，且△ABC∽△CBD∽△ACD，求证：CD是斜边AB上的高”是否成立？（这个逆命题不一定成立，学生可以举出反例）。

当原问题（或原命题）的正确性难于解决（或证明）时，可以考虑否定（或推翻）该问题（或命题）

例如，不少学生原以为：“若一个点到一个三角形三边距离相等，则这个点是三角形的内心”是真命题。事实上，通过构造反例图形否定它，并得到一个正确的命题：“若一个点到一个三角形三边距离相等，则这个点是三角形的内心或旁心”。

（3）改变“属性”，改变“属性”提出问题，其步骤是：（1）一一列出所研究对象（命题、问题、概念等）的各个“属性”。（如每一条件、性质、结论等）；（2）改變其中某一个（或几个）“属性”，并观察思考问题是否发生变化？发生了怎样的变化？改变“属性”的方法有特殊化、具体化、一般化、归纳、类比、直觉等；（3）根据上述情况的分析提出问题。

原问题：如图2，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，试判断四边形EFGH的形状并说明理由.由于中点四边形的形状主要由原四边形的对角线所决定，所以这题中涉及三个“属性”，1.对角线；2.中点；3.中点四边形的形状。

改变属性1得：如图3，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若AC=BD，试判断四边形EFGH的形状并说明理由.

改变属性1得：如图4，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若AC⊥BD，垂足为O，试判断四边形EFGH的形状并说明理由.

改变属性2得：如图5，在四边形ABCD中，

，试判断四边形EFGH的形状并说明理由.

改变属性3得：如图2，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若四边形ABCD的面积为S，试用S表示四边形EFGH的面积，并说明理由.

改变“属性”提出问题，其核心是从各个“属性”去考虑——“如果它不是这样的话，那又可能是什么”。因此，这一方法就被称为“否定假设法”，它是从原问题出发产生新问题的十分普遍而有效的方法和基本策略。前面所述推广与引申，换位与否定等等方法都可以化归为“否定假设法”的应用。

我们以为在反思中提出问题，是学生再思维再创造的结果，是创新思维形成和培养的较佳方式，是学生学习数学进步的有力证明，是数学深度学习的开山之门。