反比例函数图像的一个美妙性质

张伟俊

一、题目与解答

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上.反比例函数y=[kx]（k>0，x>0）的图像经过矩形OABC的对角线OB上的点P（2，1）.

（1）求k的值；

（2）当AD=[12]时，求CE的长.

（3）若点B的坐标为（a，b）且a>2，随着a的变化，[BDBA]与[BEBC]的值是否一定相等？为什么？

【解】（1）∵双曲线y=[kx]（k>0，x>0）经过点P（2，1），∴k=2.

（2）设直线OB的解析式为y=mx.∵直线y=mx经过点P（2，1），∴m=[12]，即直线OB的解析式为y=[12]x.∵AD=[12]，∴YD=[12]（即D点的纵坐标为[12]，下同）.把YD=[12]代入y=[2x]，得XD=4，∴XB=XD=4（即x点的横坐标为4，下同）.把XB=4代入y=[12]x，得YB=2，∴YE=YB=2.把YE=2代入y=[2x]，得XE=1，∴CE=1.

（3）一定相等.理由：∵点B（a，b）在直线y=[12x上，]∴[b=12a，]∴XA=XD=XB=a，YC=YE=YB=

[12a]，把XD=a代入y=[2x]，得YD=[2a].把YE=[12a]代入y=[2x]，得XE=[4a]，∴[BDBA]=[YB-YDYB-YA]=[12a-2a12a-0]=[a2-4a2]，[BEBC]=[XB-XEXB-XC=][a-4aa-0=a2-4a2]，∴[BDBA]=[BEBC].

【反思】第（3）问中的结论，能否推广到一般情形呢？如果推广到一般情形，该如何表述呢？所表述的结论是否成立？原因又是什么呢？

二、拓展与提炼

【拓展】在平面直角坐标系中，反比例函数y=[kx]（k≠0）的图像外有一点P，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，PA、PB分别交反比例函数y=[kx]（k≠0）的图像于C、D两点，此时[PAPC]与[PBPD]的值是否一定相等？为什么？

【分析】问题中的反比例函数y=[kx]的比例系数k≠0，包含k>0和k<0两种情形.显然，只要其中一种情形成立了，另一种情形也必然成立，所以不妨重點探讨k>0的情形.由于点P是平面直角坐标系中任意一点，此时还要考虑点P与反比例函数y=[kx]（k>0）的图像的相对位置是否有不同的情形.如果有，还需分类讨论.尝试之后，我们可以发现有以下3种不同的情形（仅考虑相对位置），如图2-4.

【解】不妨设k>0，分图2-4这3种情形探讨（由于篇幅有限，我们就不一一叙述，仅就图3所示的情形进行说明，其他情形同学们自行证明）.设点P坐标为（a，b），则有XA=XC=XP=a，YB=YD=YP=b，∴有A（a，0），C（a，[ka]），B（0，b），D（[kb]，b），∴[PAPC]=[YA-YPYC-YP]=[0-bka-b]=[-abk-ab]=[abab-k]，[PBPD]=[XP-XBXP-XD]=[a-0a-kb]=[abab-k]，∴[PAPC]=[PBPD].

事实上，用同样的方法可以说明在其他两种情形下，[PAPC]=[PBPD]同样成立，进而说明原结论可以推广到一般的情形.

【追问】[PAPC]=[PBPD]的成立，更深层次地说明了什么？在图2-4中，分别连接AB、CD，你发现了什么？如果直线CD与x轴、y轴分别相交于E、F两点，你又能得到什么？（此时有AB∥CD，CE=DF，你知道为什么吗？）

以上的问题请同学们自主思考.数学的解题反思是提升数学解题水平的一种重要途径，希望同学们能发扬钻研精神，在解题过程中多提问、多思考、多拓展，努力达到“解一题，会一类，通一片”的效果.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）