基于位置信息的人教版初中平面几何教科书比较研究

【摘 要】 针对国内对教科书中位置信息研究较少的现状，本文选取5套人教版初中几何教科书中的“相交线和平行线”部分为研究对象，对其中知识节的位置信息利用VSM模型进行分析，对教科书的文本相似度进行研究.此研究得出教材的变化规律，分析其中的原因，并对类似课程的教科书分析提供新的方法和借鉴.

【关键词】 平面几何教科书；位置信息；相交线和平行线；知识节；VSM模型

1 研究背景

章建跃在2013年6月“未来十年中国数学教育展望”学术研讨会上所做的题为《中学数学课程教科书改革的钟摆——以平面几何为例》的报告中指出，“几何教学的效果，与内容安排是否得当有很大关系”.内容安排的顺序和篇幅等都可以通过知识点或知识节的位置信息来体现.不同年代的教科书对同一部分知识内容的位置信息的差异，也能反映出这个年代的人们对这部分知识的理解方式.

目前对于国内初中平面几何教科书内容的比较研究，主要分为以下几种类型：对初中数学教科书的编写历史进行梳理[1][2]，对平面几何内容的处理方式的整体研究[3]，列举初中数学教科书的内容和课时、阐述内容的特点[4]，对内容的知识领域和知识单元数量进行统计、分析变化的原因[5]，对平面几何课程难度的比较研究[6]等.但对于某一个具体的知识单元的位置信息以及其所反映出的教科书的特点的研究较少.为此，我们选取“相交线和平行线”这个知识单元，对人民教育出版社出版的5版教科书进行比较研究.2 研究对象

2.1 教科书的选取

从建国到现在，国内一共出现了百十余种中小学教科书，其中人民教育出版社前后共出版了11版初中几何教科书.由于教科书的多样性和复杂性，我们按照时间由远及近的顺序，选择以下5套较具代表性的教科书作为分析的样本，进行比较研究.它们分别是1953年、1963年、1978年、1993年、2007年出版的教科书.

1953版的平面几何教科书《初级中学课本平面几何》和《高级中学课本平面几何》处于教科书的初创时期，所选的材料和体系大致依据苏联十年制中学的几何教本[7].

1963版的平面几何教科书《初级中学课本平面几何（暂用本）》（第一、二册）被公认为建国后最好的教科书之一，编写的背景是“大跃进”时期的“教育革命”，是经过在全国范围内广泛调研的产物.其中，平面几何教科书是为学生进一步学习和参加社会主义建设进行生产劳动所编写的[8]，不再直接照搬国外经验，而是具有鲜明的本土特色.

1978版的初中数学教科书《全日制十年制学校初中课本数学》（第一至六册）根据《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》编制而成.这是一套混编教科书，在第三册至第六册中讲平面几何，采用欧几里得体系，但适当作出扩大公理、删繁就简、逐步过渡等几大改进[9][10].

1993版的初中几何教科书《九年义务教育三年制初级中学教科书几何》（第一至三册）的编制背景是我国开始实施义务教育.义务教育的初中阶段分为三年制、四年制两种，我们选取三年制的教科书[11]进行比较研究.

最新的2013版的初中教科书已经出版了5册（共6冊），但由于位置信息需要对每一册教科书的页码进行精确的测量，所以采用2007版的初中数学教科书《义务教育课程标准实验教科书数学》（七年级上册至九年级下册）.它与2013版在位置信息上较为相似，都是混编教科书，每一册都涉及到平面几何[12].

2.2 研究内容的选取

平面几何以其完整的公理体系和严密的逻辑推理，长期以来一直被作为对中学生进行逻辑推理能力训练的不二选择.在2013版最新教科书中，“相交线和平行线”这一部分内容安排在“几何图形初步”后，是学生在学习数学以来第一次需要接触严密逻辑推理的模块.学生在这一部分的学习经验将直接或间接地影响着未来对几何的学习.因此，我们选择对60多年来我国初中平面几何教科书中的“相交线和平行线”进行比较，作为梳理平面几何教科书内容变革的一个突破口.

为实现比较的公平性与客观性，我们先对研究内容作一个界定.在梳理教科书时我们发现，前两版教科书没有独立地设“相交线”一节，而是将诸如“垂线”、“对顶角”等一些概念和定理融合到基本概念中.从1978版开始的三版教科书将“相交线”看成两直线的位置关系，与“平行线”作为两个独立的二级标题进行讨论.但由于5版教科书的“平行线”都是用“不相交”来定义的，而且平行线的判定和性质中用到的“同位角、内错角、同旁内角”的概念在后两版教科书中放在“相交线”一节，所以我们将前两版教科书中与“相交线、对顶角、垂线、垂直平分线”有关的内容也纳入比较的范畴.此外，由于1978版开始的三版教科书将逻辑推理的基础理论放在这一部分进行介绍，并以“相交线与平行线”中的一些命题作为逻辑推理的例子.所以我们将前两版教科书中与逻辑推理有关的内容也纳入比较的范畴.3 研究设计和研究方法

3.1 选定知识节

我们沿用文[13]中对“知识点”概念的界定.所谓“知识点”是指数学教学内容中的概念、定理、公式、法则、性质以及数学方法等.而本文中考虑的“知识节”是指具有密切关联性的知识点的总体，在教科书文本中表现为三级标题.依据2013最新版教科书中标题的设计，并对该教科书中未涉及但在其他教科书中涉及的部分加以补充，我们将考察以下11个知识节的位置信息，并用1，2，…，11分别对它们进行编码：

1.相交线；2.垂线；3.两条直线被第三条直线所截得的角；4.平行线的概念；5.平行线的作法和平行公理；6.平行线的判定；7.平行线的性质；8.空间里的平行关系；9.逻辑推理；10.平移；11.线段的垂直平分线的概念和作法.

3.2 对知识节的位置信息进行编码

由于各版教科书的编排方式不同（混编、分编），内容的篇幅设置也不同（册数、页码），为了提高位置信息的可比性，我们需要将各版教科书的页码总数分别单位化.将各版教科书中所有平面几何所占的页码总数看成一根长度为1的位置标尺，以它来衡量11个知识节在5版教科书中分别对应的相对位置.例如，某知识节的相对起始位置的公式表示为：

某知识节的相对起始位置=（某知识节的起始位置页码-1）+起始行数该页总行数平面几何部分所占的页码总数

如果某知识节位于某版教科书中的第2册或第3册中，我们就记录它的累计页码.相对终止位置的公式也可以类似地表示.

于是，我们也可以用位置信息来表示某部分所占的篇幅比例：

某部分所占的篇幅比例=该部分的相对终止位置-该部分的相对起始位置

如果某个知识节在教科书中被划分为若干个部分，那么它所占的篇幅比例就等于所有这些部分所占的篇幅比例之和.

3.3 位置信息的处理模型

VSM模型（Vector Space Model，空间向量模型）是文本分类领域的一种重要方法，这种方法在互联网搜索、文献检索、机器翻译等方面已有广泛的应用，我们试图将其应用在教科书的比较中，并由此得出较为客观的结论.

1969年，Gerard Salton首次提出了VSM模型[14]，其基本思想是：首先对参与分类的文本抽取所有能够体现其内容的主要特征项；其次根据特征项出现的频率对该特征项赋予一定的权重，那么此时由特征项权重所构成的空间向量就能在一定程度上反映原文本的内容；最后把对文本的相似程度转化为向量空间中向量的相似度计算，从而实现对所有文本进行分类的目的.基于不同的研究领域，后人又不断对特征项的选取、特征项权重的确定进行了补充和修正[15].我们利用它来刻画5版教科书的互相似程度.

1.选取特征项（Term）：由于教科书比较的特殊性，我们不再选取字、词作为特征项，而是选取上文提到的具有一定内部关联性的11个知识节作为特征项.第k个特征项表示第k个知识节.

2.特征项权重（Term Weight）的确定分为两个方面：（1）TF权重（Term Frequency）：表示一个特征项在特定的文本中出现的频率越高，说明它代表该文本内容的能力越强；（2）DF权重（Document Frequency）：当要区分的文档属于同一类别时，含有某特征项的文本在所有文本中的频率越高，说明该特征项越能提供更多关于这类文本的信息；出现频率较低的特征项也赋予一定权重，区分于未出现该特征项的教科书[16].

根据本文特征项的选取，TF权重表示第k个特征项在第i版教科书中出现的频率.我们用第k个知识节所占的篇幅比例表示这个频率：即TF（ik）=第k个特征项在第i版教科书中所占的篇幅比例.

DF权重描述含有第k个特征项的教科书在全部教科书中的频率.计算公式为[17]：

DF（ik）=log（nkN+α）

其中α为经验常数，取为2.N表示全部教科书的总数，即5.nk表示出现第k个特征项的教科书数.

最终，第k个特征项对应的权重由TF权重和DF权重两个因素来决定：

w（ik）=TF（ik）·DF（ik）（1≤k≤11，1≤i≤5）

对于给定的知识节，如此定义的特征项权重能同時体现出某版教科书以及全部教科书对它的重视程度.

（3）特征项权重的单位化处理：

各教科书对应的特征项权重向量的长度不同，影响教科书篇幅相似度的可比性.为此，我们对其进行单位化处理：

w（ik）=TF（ik）·DF（ik）∑11k=1（TF（ik）·DF（ik））2（1≤k≤11，1≤i≤5）

最后所选取的特征项权重向量即为

w（i）=wi1，wi2，…，wi11，

其中i=1，2，3，4，5，按年代顺序依次代表1953、1963、1978、1993、2007版教科书.

（4）知识节篇幅相似度的刻画

主流的方法是采用计算两个文本特征项权重向量的余弦系数作为文本相似度值.余弦系数越大，这两个文本对应的特征项权重向量夹角越小，这两个文本的知识节就越相似.第i版教科书与第j版教科书的知识节的篇幅相似度的计算公式为：

Simw（i），w（j）=∑11k=1w（ik）·w（jk）|w（i）|·|w（j）|

其中，由于我们已经作了单位化处理，所以分母中的两个向量的模长均为1，简化了计算.4 研究结果与分析

根据VSM模型，利用余弦系数法计算出5版教科书之间的文本相似度矩阵如表1所示.不难看出，前4版教科书两两之间有很高的互相似度，都高于0.9.其中，1953版与1993版教科书相似度高达0.9742，1953版与1963版、1963版与1978版的相似度次之，而1953版与1978版的相似度较之略低，但也高达0.9510.与此产生鲜明对比的是，2007版与这4版的相似度均不高于0.81.它与1978版相似度最低，只有0.6784.

教科书的文本相似度与知识节的篇幅比例和出现该知识节的教科书数有关.前4版教科书中都没有出现第10个知识节，1993版教科书虽然出现了第8个知识节，但所占的篇幅比例很小，其他9个知识节的篇幅比例差异不大，因而两两相似度很高.与前4版教科书相比，2007版教科书有两个重要的区别：1.第9个知识节（逻辑推理）所占的篇幅比例在5版教科书中最小.2.第10个知识节（平移）首次出现，但在2007版教科书中所占的的篇幅比例很大.5 深层的结论

在教科书编写的不断改革中，5版教科书保持了一定的一致性，同时也随着时间的发展产生了一定的差异.5版教科书中11个知识节的权重变化见图1.

5.1 对垂线、平行线的判定、平行线的性质重视程度一致最高

除了第9个知识节（逻辑推理）发生了较大的变化以外，5版教科书对垂线、平行线的判定、平行线的性质三部分的权重一致高于其他7个知识节.此外，这3个知识节对应的习题数量占了习题总量的很大比例，从一定程度上表明教科书对这3个知识节的重视程度.

图1 5版教科书中11个知识节的权重变化

5.2 对逻辑推理的要求发生变化

在1953版和1963版教科书中，第9个知识节（逻辑推理）的位置放在平行线理论之前，逆序数分别为5和6；特征项权重分别为0.6115和0.6457，都是该版教科书“相交线和平行线”部分中权重最大的知识节.1978版教科书将其位置放在平行线理论之后，以平行线理论中的一些知识作为逻辑推理的例子；在该版本中特征项权重最大，高达0.7861.1993版教科书中，它的特征项权重回落至0.5609.2007版教科书中它的特征项权重只有0.1535.

以上数据表明，5版教科书在“相交线和平行线”部分对逻辑推理的要求整体呈先上升后下降趋势，在2007版下降到谷底.这一点从“相交线和平行线”部分几何命题的数量及证明的数量上也能看出.在1953版、1963版教科书中，分别有75.0%和76.9%的几何命题给出了证明，而1978、1993、2007版教科书中，这个比例呈下降趋势，分别为61.5%、45.5%、27.3%.在2007版教科书的11个几何命题中，只有3个命题给出了证明.

但以上数据并不表示整版教科书对逻辑推理的要求呈相同趋势，而是表示在学习平面几何初期，教科书逐渐不要求学生花费过多精力在逻辑推理上.6 启示

6.1 2007版教科书内容的结构更考虑知识节的内部联系

建国后初期的几版教科书，未把“相交线和平行线”看成两直线的一种位置关系，而是穿插在角概念下或三角形理论中；1978版教科书按照图形的复杂程度编排，先是一条直线，再是两条直线的关系，然后是三角形、四边形、相似形；2007版教科书将“线段的垂直平分线的概念和作法”从“相交线和平行线”部分抽取出来放在“轴对称”中，也是在变换几何的指导思想下考虑到了垂直平分线与对称轴的关系.可以看出，教科书内容更加重视知识点的内部联系.

6.2 2007版教科书内容的顺序更遵循学生的认知能力

从教科书内容的顺序上看，前两版教科书将逻辑推理作为平面几何的基础理论，但1978、1993、2007版认识到学生对逻辑推理的把握需要逐步渗透，需要几何作载体，故将逻辑推理的理论放在平行线理论之后.

前三版教科书将垂直平分线的概念和作法放在平行线理论之前，但由于此时学生的认知能力不够，不能理解作法的原因，也不能理解它的性质，1993、2007版教科书便将其置后.

这些都体现出“教学要求应大体与学生的认知能力同步”[18]“教科书的编排中，对于联系紧密的知识需要集中设置，但也应当考虑学生的接受能力等因素进行安排”[19]的原则.

6.3 2007版教科书内容更体现与现实生活的联系

教科书内容的篇幅上，2007版教科书相对于以往教科书之间表现出较大的差异.以往四册教科书中均没有涉及到“平移”，但逻辑推理的篇幅所对应的权重均为该版教科书最高.课程内容体现在课程标准中[20]，2007版教科书编写的依据是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，提倡“注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧”“欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用”[21].事实上，“平移”的篇幅所对应的权重仅次于垂线、平行线的判定和性质，逻辑推理的篇幅则下降到倒数第三.这些现象都表明教科书内容更加体现与现实生活的联系.

通过对5版教科书的位置信息进行纵向比较，我们更好地认识到教科书编写的发展规律，体会其中变化的原因和背景，更好地将教科书的新变化运用到具体的数学教学实践中去，也为未来教科书的编写提供一些借鉴.

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作者简介 田芸（1980—），女，山东临沂人，清华附中奥森分校，首都师范大学数学科学学院，博士研究生，主要研究方向：中小学数学教育.