一道题目引出的“是超几何分布还是二项分布”的案例分析

林炳锋

【摘 要】从近几年的高考数学试题中可以看出，几乎每套试卷都考查了分布列或期望值，涉及超几何分布与二项分布的分布列和数学期望问题已成为常考题型，但发现学生在几次考试中，这类题目的得分情况并不乐观，甚至可以说失分比较严重，归结其原因主要有：①基本的计算错误；②对超几何分布与二项分布的概念模糊不清而导致运算失误.本文主要是通过一节试卷讲评课遇到的一道有关分布列的试题，来分析因概念模糊不清导致的错误。

【关键词】高考；数学

【中图分类号】G633.65 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0060-02

1 课堂再现

【题目】2013年春季，我国多个地区出现了H7N9禽流感疫情，为强化对H7N9禽流感疫情的防控，许多新闻媒体介绍了H7N9禽流感防治常识，比如：勤洗手、室内通风换气、注意营养、保持良好体质有利于预防流感等呼吸道传染病等。为此，某中学举行了“H7N9禽流感防治常识”知识测试。已知在备选的10道试题中，甲同学能答对其中的6道题，乙同学能答对其中的8道题，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格。

（1）求甲、乙两同学至少一人测试合格的概率；

（2）求甲同学答对的试题数X的分布列和数学期望。

师：由已知条件你能够知道甲、乙两同学测试合格的概率各是多少吗？

生：题目中提到“至少答对2道题才算合格”，所以甲测试合格的概率应该等于甲答对2道题的概率加上答对3道题的概率，乙的也是一样。

师：很好，那么甲、乙两同学测试合格的概率我们就清楚了。对于问题（1），“至少有一人测试合格”包含了几个基本事件？

生：三个，一是甲合格乙不合格；二是甲不合格乙合格；三是甲乙都合格。

师：那我们怎么计算问题（1）中的概率？

生：将三者的概率都算出来，然后相加就可以了。

师：相加就可以了吗？为什么能这么做？

生：因为三个事件互斥。

师：很好！不过上面的方法算起来有点繁琐，请同学们思考一下，还有没有更简洁的方法？

生：可以从它的对立事件着手考虑， “甲、乙两同学至少一人测试合格” 的对立事件是“甲乙都不合格”，所以我们可以先算它的对立事件的概率，再用1来减。师：回答的很好，那大家一起把解答过程写出来吧！

解析：（1）设甲、乙两人测试合格的事件分别为A、B，

则 ，

甲、乙两同学测试均不合格的概率为：

故甲、乙两同学至少有一人测试合格的概率为：

师：问题（2）“求甲同学答对的试题数X的分布列和數学期望”，X的所有可能取值有哪些？它服从什么分布？X取每个值时的概率是多少？怎么计算？

生：有0、1、2、3，此时只有十来个学生回答X服从超几何分布，而且隐约听见有其他学生回答服从二项分布，刚开始我也没有在意，就继续往下上课。）

师：既然这样，那我们就可以利用超几何分布的相关知识解答了。

解析：（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，

则

甲答对的试题数X的分布列如下：

甲答对的试题数X的均值为

正当我准备继续评讲下一道题的时候，一位学生提出了问题：我觉得X应该服从二项分布，我用二项分布解出来的数学期望和老师的一样啊！

师：哦，那你能不能说说看你是怎么解的？（这时候的我也带着点好奇心等待他的讲解）

这位同学解释道：总共10道试题，甲能答对其中的6道，也就是说他答对每道题的概率可以认为是，答错的概率为，从中抽出3道题，所以 ，X的可能取值为0，1，2，3

所以甲答对的试题数X的分布列如下：

又 ，所以 （竟有相当部分的同学也是这样认为的）

师：到底是超几何分布，还是二项分布呢？同学们有其他的看法吗？

我一边提问一边观察同学们的表情，发现很多同学还是一脸的迷茫。此时我才发现，对于概率统计的这类题目，本以为学生应该只是会在计算上出现较大的问题，没想到还会因为对超几何分布与二项分布的概念产生了混淆，概念模糊不清，理解不够深刻而导致错误。想到了原因，接下来就有对策了。

1.1 重新认识超几何分布与二项分布的定义

超几何分布的定义是这样的：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为P（X=k）= ，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*。则称随机变量X服从超几何分布。

二项分布的定义是这样的：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=（k=0，1，2，…，n），则称X服从二项分布，记作X～B（n，p）。

由以上定义可知，二项分布与超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是无放回抽样。一般来说，有放回抽样与无放回抽样计算的概率是不同的，特别在抽取对象数目不大时更是如此。所以，在解有关二项分布与超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的，我们要对含“取”或“摸”的题型加以分析，不能随便滥用公式。

例如，某个袋中有10个形状大小一样的小球，其中有8个白球、2个黑球，从中随机地抽取3次，每次取一个球，问：①有放回地抽取时，求取到黑球的个数X的分布列；②无放回地抽取时，求取到黑球的个数Y的分布列。像这种把放回与无放回放置在一起考查时，同学们是比较容易区别的，犯的错误也会较少。

1.2 二项分布满足的条件以及与超几何分布的区别

判断一个随机变量X是否服从二项分布可以从几点进行：

一是各次试验是相互独立，互不影响的。

二是在每次试验中事件A的发生只有两种可能，要么发生，要么不发生。

三是在每次试验中，事件A发生的概率都是相同的。

一般满足上述三点我们就可以大致判断随机变量是否服从二项分布。从前面的分析可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型；而无放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率时不同的，此种抽样为超几何分布。例如，前面的那道题目，甲同学能答对10道题中的6道，从10道中随机抽出3道，其实就是不放回的抽取，第一次抽的结果会影响第二次抽（比如甲第一次抽他能答对相应的概率为，第二次抽的时候只有9道题，他能答对的概率为），这与二项分布需满足的条件是相矛盾的，所以甲同学答对的试题数X没有服从二项分布的，故不能用二项分布的方法来解决，这是一个超几何分布模型。

1.3 超几何分布与二项分布的联系

事实上，超几何分布与二项分布还有着密切的联系，样本个数越大，超几何分布与二项分布的对应概率相差就越小，当样本个数为无穷大（足够多）时，超几何分布与二项分布对应的概率就相等，换句话说，超几何分布的极限就是二项分布。还有超几何分布所涉及的样本数目是具体的，所以只有掌握“有、无放回”及样本个数“有限、无限”时所对应的分布类型，才不会出现选择方法上的错误。抓住了此类题目的主要区分点，我相信学生以后对于随机变量服从什么样的分布列，判断一定会更加地准确！

2 教学反思

这类题目让我对学生数学运算能力的培养有了新的看法，不可否认，学生计算能力的培养是重要的，可是让学生搞清楚他们一些容易混淆或模糊不清的概念问题，对学生运算能力的培养也起着至关重要的作用，因此我们要弄明白学生为什么会犯错，错在哪里，解决措施是什么，也就是我们提出的“诊疗式”教学模式，体现了在教学过程中要以学生为主体的核心思想。