DCM—PCCM二次型Boost变换器的分数阶建模与分析

谭程 丁祝顺 滑艺 贾楠

摘 要：文中基于电感和电容本质上是分数阶的事实，采用分数阶微积分理论，建立了类型Ⅰ和类型Ⅱ断续导电模式（DCM）-伪连续导电模式（PCCM）分数阶二次型Boost变换器的四阶数学模型，并对系统进行了理论分析，通过数值与电路仿真，验证了分数阶阶数对DCM-PCCM二次型Boost变换器性能的影响，证实了理论分析的正确性。

关键词：分数阶；二次型；Boost；变换器；DCM-PCCM；电路仿真

中图分类号：TP39；TM46 文献标识码：A 文章编号：2095-1302（2018）07-00-04

0 引 言

二次型Boost变换器仅使用了一个功率开关管就实现了传统Boost变换器的级联，在减少功率开关管数量的同时，变换器输入电压的范围得到了拓宽，升压比得到了提升[1]。因而在新能源领域得到了广泛应用[2，3]。然而，当二次型Boost变换器工作在CCM-CCM时，其控制输出传递函数中存在的三个右半平面（RHP）零点和两个谐振峰值点不仅加大了控制环路补偿器的设计难度[4]，还严重影响了其对负载变化的瞬态性能[5]。PCCM二次型Boost变换器的提出，彻底改善了二次型Boost变换器的缺点[6-8]，但目前对PCCM二次型Boost变换器的研究仅建立在整数阶模型基础上[5，8]，并未考虑电感和电容本质是分数阶对系统带来的影响[9-11]，因此建立一个精确的模型是对PCCM二次型Boost变换器分析与设计的基础。目前，随着分数阶微积分理论的不断发展以及对真实系统物理现象认知的不断提高，分数阶微积分理论在自然科学和工程技术中各学科领域受到广泛的研究与应用[9，10]。相比于传统的整数阶数学模型，分数阶数学模型能够更好地刻画该物理系统的内在本质及其演变过程。

本文以PCCM二次型Boost变换器为研究对象，建立了类型Ⅰ和类型Ⅱ DCM-PCCM二次型Boost变换器的分数阶数学模型，通过数值与电路仿真验证了分数阶阶数对DCM-PCCM二次型Boost变换器性能的影响，证实了理论的正确性。

1 DCM-PCCM二次型Boost变换器分数阶模型的建立

对于分数阶电感和电容有如下表达式：

一个开关周期T内，DCM-PCCM二次型变换器有四种工作模态，其电路原理如图1所示，工作波形如图2所示。

根据DCM-PCCM二次型Boost变换器的工作原理以及分数阶电感和分数阶电容电流和电压之间的关系，可得系统的状态空间方程为：

其中，IL1为流经电感L1的电流，IL2为流经电感L2的电流，VC1为电容C1两端的电压，VC2为电容C2两端的电压，D2和D3为占空比，R为负载电阻，k1和k2为给定常数，对于类型Ⅰ：k1=1，k2=0；对于类型Ⅱ：k1=0，k2=1。

2 理论分析

根据Caputo分数阶微积分的性质，可知任意常数的Caputo分数阶微分等于零[10]，则式（2）等号左侧等于零，可得分数阶DCM-PCCM二次型Boost变换器稳态工作点的表达式为：

由式（3）可知，分数阶DCM-PCCM二次型Boost变换器的升压比为：

基于系统的工作原理，可得输入电感L1和储能电感L2电流纹波ΔiL1和ΔiL2的表达式分别为：

其中，Γ为伽马函数[11]。可知，输入电感L1的电流纹波ΔIL1不仅与电感值L1、输入电压的直流分量Vin、占空比的直流分量D1及开关管的工作周期T有关，还与输入电感L1分数阶阶数α1有关；且当输入电感L1和储能电感L2分数阶阶数α1=α2=1时，式（5）与用其整数阶模型描述所得结果相

一致。

对于分数阶DCM-PCCM二次型Boost变换器，因其输入电感电流iL1的初始值为零，根据式（5），可得输入电感电流IL1的表达式为：

基于式（3）和式（5），可得占空比D2和D3的表达式为：

其中，a=（L1α1Γ（α1）（D1+D2+k1D3））/（R（D2+k1D3）（D1T）α1）。对于类型I：占空比D2和D3均与输入电感L1分数阶阶数α1有关；对于类型II：占空比D2与输入电感L1分数阶阶数α1无关，而占空比D3与输入电感L1分数阶阶数α1有关。根据式（3），

（4），（6）和（7），可知升压比M、输入电感电流IL1和储能电感电流IL2、电容电压VC1和VC2与输入电感L1分数阶阶数α1有关，储能电感电流纹波ΔIL2与输入电感L1分数阶阶数α1和储能电感L2分數阶阶数α2有关，且当输入电感L1和储能电感L2分数阶阶数α1=α2=1时，其相应表达式与用其整数阶模型描述所得结果相一致。

如图2所示，对于分数阶DCM-PCCM二次型Boost变换器，需满足：

根据图2可知，分数阶类型Ⅰ和类型ⅡDCM-PCCM二次型Boost变换器的临界状态是D3=0且D4≠0，因此，基于式（7），可得其临界状态表达式为：

由式（9）和（10）可知，输入电感L1的临界值及类型Ⅰ和类型Ⅱ之间的临界值L12均与输入电感L1分数阶阶数α1有关，储能电感L2的临界值与储能电感L2分数阶阶数α2有关，且当输入电感L1和储能电感L2分数阶阶数α1=α2=1时，其相应表达式与用其整数阶模型描述所得结果一致。

3 仿真研究

3.1 DCM-PCCM工作区域

选取电路的参数为vin=24 V，d1=0.2，d2=0.1，R=1 000 Ω，f=50 kHz，α1=α2=β1=β2=0.8，C1=C2=100 μF。根据式（9）和（10），可得分数阶DCM-PCCM二次型Boost变换器的工作区域如图3所示。因此，为确保分数阶二次型Boost变换器工作在类型Ⅰ和类型ⅡDCM-PCCM，选取输入电感值和储能电感值分别为L1Ⅰ=5 μH，L2Ⅰ=2 mH和L1Ⅱ=120 μH，L2Ⅱ=2 mH。

當系统工作于DCM-PCCM时，如图4（a）所示，其输入电感L1的临界值和L12的临界值随其阶数α1的增加而变小；根据图4（b）可知，类型Ⅰ DCM-PCCM、类型ⅡDCM-PCCM和DCM-PCCM的工作区域随阶数α1的增加而变小；储能电感L2的临界值随α2的增加而变小，如图4（c）所示；类型ⅠDCM-PCCM、类型ⅡDCM-PCCM和DCM-PCCM的工作区域随阶数α2的增加而变大，如图4（d）所示。

3.2 仿真验证

由于电感和电容本质上是分数阶的，但目前无法准确得到从市场上购买实际电感和电容的阶数，且在仿真软件中也无法找到分数阶电感和电容的模型元件。因此根据分抗链结构和改进的Oustaloup近似算法，采用图5和图6所示分数阶电感和分数阶电容的等效近似电路模型[9-12]搭建二次型Boost变换器电路模型来验证上述理论分析的正确性。

以类型ⅡDCM-PCCM二次型Boost变换器为例进行分析。当其他参数固定时，随着阶数α1的增加，二次型Boost变换器工作区域从类型ⅠDCM-PCCM变到类型ⅡDCM-PCCM，如图7所示。根据图7（a）可知，处于类型ⅠDCM-PCCM时，占空比D2随着阶数α1的增加而增加，占空比D3随着阶数α1的增加而减少，而在类型ⅡDCM-PCCM时，占空比D2不随阶数α1的变化而变化，占空比D3随着阶数α1的增加而增加；根据图7（b），（c）和（d）可知，类型Ⅰ和类型ⅡDCM-PCCM工作时，升压比M、输入电感电流IL1、储能电感电流IL2及电容电压VC1和VC2随阶数α1的增加而减少。

图8（a）～（d）分别为分数阶和整数阶电路模型输出电压VC1和VC2的开环响应曲线，易知DCM-PCCM Boost变换器分数阶模型的动态特性明显优于其整数阶模型，且与整数阶模型相比，分数阶模型在相同占空比D1的条件下，具有更高的输出电压VC1和VC2。因此，以上分析对分数阶DCM-PCCM二次型Boost变换器在今后的实际应用设计中具有较好的指导作用。

4 结 语

本文基于分数阶微积分理论，建立了分数阶DCM-PCCM二次型Boost变换器的数学模型，并对分数阶系统的稳态和动态特性进行了分析与仿真验证。DCM-PCCM工作区域与输入电感L1阶数α1和储能电感阶数α2有关，当其他参数固定时，类型ⅠDCM-PCCM、类型ⅡDCM-PCCM及DCM-PCCM的工作区域随阶数α1的增加而变小，随阶数α2的增加而变大。在类型ⅠDCM-PCCM工作区域时，占空比D2随阶数α1的增加而增加，占空比D3随阶数α1的增加而减少；然而，在类型ⅡDCM-PCCM工作区域时，占空比D2不随阶数的变化而变化，占空比D3随阶数α1的增加而增加。在类型ⅠDCM-PCCM和类型ⅡDCM-PCCM工作区域时，升压比M、输入电感电流IL1、储能电感电流IL2及电容电压VC1和VC2随阶数α1的增加而降低，且DCM-PCCM二次型Boost变换器的分数阶电路模型的动态特性明显优于其整数阶模型。综上可知，储能元器件的阶数对DCM-PCCM二次型Boost变换器有着极其重要的影响，所建立系统的分数阶模型能够真实反映DCM-PCCM二次型Boost变换器的动力学特性。

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