在教学中发展学生思维品质

【关键词】高中数学；思维品质；解题训练

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）43-0059-02

【作者简介】秦国清，江苏省白蒲高级中学（江苏如皋，226511）教师，一级教师。

数学思维是从数学的角度来思考问题和解决问题的思维活动形式。教学中要立足数学思维训练，让学生学会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括，会进行归纳、演绎和类比推理，能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系。

需要强调的是，学生数学思维活动的效果与思维的品质有着直接的关系。数学思维品质主要包括独立性、灵活性、深刻性、辩证性、系统性、创造性、流畅性、发散性等。笔者结合自身教学实际，谈一些做法和想法。

一、培养学生数学思维的灵活性

具备数学思维的灵活性要求学生能够顺应数学条件的变化及时改变思维路径，寻找新的解决问题的方法。

教学中发现，不少学生在解题时往往有“一眼看不到底”的经历，即不能从开始到结束都有明确的思路。不少学生遇到问题首先去想是否做过或有没有明确思路，一旦不是熟悉的问题，就不自信，不能冷静分析，这是思维缺乏灵活性的表现。为此，要提倡解题思维三步骤：写出来看看，目标（结论）是什么，条件怎么用。换言之，有什么想法就不妨先写出来，写出来与写不出来的思路都要去从解题目标的角度来审视，做出取舍；或者也可从已知条件出发，看看能得到哪些结论。只有這样解题思路才会变得灵活、流畅。

教师要让学生学会条件和结论的转化，学生能把题目表述得更简洁、流畅、好懂，与数学重要知识有关联，这样才能发挥学生的主体作用。通过学生大脑的思维活动不断分析、“回味”待解决的问题，并形成新的长时记忆，不断提高学生的解题能力。

二、培养学生数学思维的深刻性

中学生数学思维的深刻性体现在对所学概念定义、法则、定理等的认识水平上。

从数学教育教学的角度看，解题的思维过程能够反映学生思维的深刻性，从学生给出的解答过程可以看出学生思维的特征。通过对学生解答过程的梳理、回溯与讲解，可以深化学生数学思维的深度、广度和严谨性。

如2012年江苏省高考数学试卷第 19题第2问：

如图1，已知椭圆 +y2=1，A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且直线AF1与直线BF2平行，AF1-BF2= ，求直线AF1的斜率。

在教学中对学生能想到的解题思路进行总结与对比。

思路1：利用已知条件AF1-BF2= ，就要先求出线段AF1，BF2的长度，而且还必须用所需要求的斜率来表示，这就要先用斜率表示出点的坐标，于是设出直线方程，采用联立方程组的方法计算解决。

这种思路较为直接，体现出方程的思想，大部分学生都能想到，但能算出正确结果的寥寥无几，其原因在于计算量太大。有学生在思考后发现AF1，BF2的长度不一定要算出来，得到思路2。

思路2：如图2，A、B点都在椭圆上，AF1，BF2都是连接椭圆上一点到焦点的线段，可以想到利用圆锥曲线的统一定义实现向准线距离的转化，所以不需求的长度AF1，BF2只要联立方程组，利用韦达定理，就能解决。

思路3：有学生能抓住椭圆的对称性，如图3，将BF2平移至B1F1，这样，联立一个方程组就可解决。

思路4：有学生认为无需向准线转化，直接利用线段长度公式|AB|= |xA-xB|也能很好解决，即利用线段长度公式，将倾斜长度，转化为水平距离。这同前面的利用圆锥曲线的统一定义和对称性实现转化其本质是一致的，都是转化与化归思想的体现。

除了上述4种思路之外，教师还可以根据学情介绍利用三角函数、参数方程、极坐标方程等工具进行解题的方法，让每一位学生主动地回忆原有的知识和经验，结合自己的思维特征，积极参与到课堂中来。发挥思维方法的威力，培养学生数学思维的“深刻性”。

三、培养学生数学思维的辩证性

矛盾冲突是事物发展的根本动力。教学时，要提高学生的辩证思维能力，全面地、系统地、联系地分析问题、解决问题，在矛盾双方对立统一的过程中把握其发展规律，克服极端化、片面化。 数学教学中培养学生数学思维的“辩证性”，主要训练学生看问题要客观全面。研究“对立的”或者“关联的”数学问题，学会解题前的预判和解题中的调整，培养学生的思辨能力。

如2012年江苏高考数学试卷15题：

在△ABC中，已知 · =3 · 。（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC= ，求A的值。

在解决第（2）问时，不少学生选择用求“弦”值来求角，结果陷入繁杂计算的泥潭，无果而终。这是因为平时教师在教学时过分强调“逢切化弦”造成的。假如能细心观察一下第一问的结论，辩证的选择“弦化切”的策略，这样运算就会简洁、迅速。

教师要善于捕捉教学中发生的矛盾冲突，抓住契机，引导学生进行深入的讨论、辨析、寻根、纠正，让学生在“和而不同”的学术氛围中，感受数学、领悟原理、加深理解，使学生的数学知识结构得以进一步完善，数学思维品质得以优化，认知水平与数学素养得以提升。

总之，作为数学教师，应和学生一起置身于数学发现的过程中，对每一个数学问题、结论、方法，让学生探究的时间要更长一些，探究的层次要更深一些。不仅要顺利达成数学思维训练的显性目标，更要能促进学生的思维生长、品质素养的提升。要站在学生的立场，贴近学生的思维发展区，点燃他们不断发展的动力。