经历图形研究 体悟概念生成*——《全等图形》课堂实录与评析

□周海东

（苏州工业园区星洋学校，江苏苏州 215000）

笔者执教苏科版义务教育教科书《数学》八年级上册《全等图形》一课时，通过建构操作活动，引领学生经历图形研究的过程，体悟概念生成，收到很好的教学效果，受到同行的一致好评.现将课堂实录及感悟整理成文，与同行交流研讨.

一、课堂实录

（一）用数学的眼光看世界——对全等图形的初次触摸

师：德国数学家莱布尼兹曾说过：“世界上没有两片完全相同的叶子.”

【解析】用数学的眼光来看这两片叶子，我们不再关注它作为生物的一种特性，只关注它的数量关系和空间形式.

（演示课件）师：如果把这两片叶子叠合到一起去，你会有什么发现？

生：重合！

师：你能再举点这样的例子吗？

生：比如黑板、教室的窗户等.

师：这一类图形有何特质？

生：通过平移或旋转后会重合.

师：能完全重合的图形称为“全等图形”.

【解析】学生对现实世界中的全等现象是熟悉的，但对其数学属性并不了解，因此，笔者设计了用数学的眼光观察世界，引导学生从一类图形的共性特征中抽象出全等图形的概念.

（二）用数学思维思考问题——对全等图形的三度辨析

1.眼见未必为实——对图形全等的首度辨析

探究活动1：观察与验证.

师：如图1，观察下列图形，请找出其中的全等图形并连线，再运用实验材料进行验证.

图1

师：你是怎么找到的？

生：目测.

师：眼见未必为实，你有办法来验证吗？

生：旋转透明纸上的菱形，发现它们能够重合.

师：非常好，请坐！要判断两个图形是否全等，只要把它叠合到一起去，看是否完全重合.但是这个图形是拿不出来的，利用透明纸把图形“拿”出来比较，就可以判断了.

【解析】纸上呈现的图形是不可移动的，学生只能依靠“目测”来判断，但这种“目测”并不严谨.因此，笔者通过提供和图1完全一样的透明材质的操作材料，引导学生通过数学实验将图形运动从不可操作转化为可操作，真正让学生经历图形研究的过程.

2.逆向亦或为真——对图形全等的再度思考

师：如果把一个图形平移（如图2），平移后的图形跟原图形全等吗？

图2

图3

图4

生：是.

师：为什么？

生：因为平移时没有改变图形的形状、大小.

师：如果旋转后像图3这样全等吗？

生：也是.

师：翻折后像图4这样呢？

生：也是.

【解析】从人的思维角度而言，既然判断图形是否全等可以借助平移、旋转、翻折来验证图形是否重合，那么反过来呢？结论还成立吗？

3.本质越辨越明——对图形全等的深度辨析

探究活动2：同一张底片冲印出来的1寸照片和2寸照片.

师：这两张照片是全等图形吗？

生：不是，大小不同.

探究活动3：如图5，下列两个由三个边长为1的小正方形组成的图形全等吗？

图5

生：不是，因为它们形状不一样.

师：那么你有办法让它们变成一样吗？

（学生上台操作，如图6）

师：这个方法很好，有其他办法吗？

（学生上台操作，如图7、图8）

图6

图7

图8

【解析】通过控制形状和大小这两个变量让学生深度理解概念.

（三）用数学语言表达问题——对全等关系的深入研究

1.复杂中抽象基本，训练学生识图技能

探究活动4：操作与实践.

师：如图9，观察图形，你能找出图中的全等图形吗？

图9

（学生小组活动）

生：可以找一下对称轴，依据对称轴可以找出对称图形.比如说竖着的，横着的也行.

师：怎样才能不重复和遗漏呢？

生：我们对它进行分解或分类.

师：最小的三角形有几个？

生：12个.

师：再找哪个？

生：边长为3的三角形有6个，最大的三角形有2个.

师：三角形找完了，应该找……

生：四边形.

师：（边演示边说）还有梯形，还有更大的梯形，还有最大的梯形……还有不规则的图形，同学们可以找出非常多的全等图形，如图10.

图10

师：找全等图形时需要把握什么样的特征呢？

生：我认为是形状相同，大小也要相等.

师：很好，你抓住了全等图形的基本特征.

【解析】通过这样的识图训练，一方面可以让学生在概念的形成过程中提升自己的思维能力，因为只有在思维过程中获得的经验才更有价值；另一方面，可以让学生进一步体悟分类讨论的思想.

2.运动中感悟本质，培养学生空间观念

探究活动5：操作与实践.

师：如图11，图中②是由①经过怎样的运动得到的？

图11

生：向右平移5个单位.

师：按照这样的规律，你能在操作纸上画出下一个图形吗？除了平移，再进行翻折又是怎么样？

（教师展示学生的作品，如图12、图13、图14）

图12

图13

图14

生：图12中的③是由②继续向右平移5个单位得到的.

生：图13中的③是由②继续向右平移3个单位，然后翻折过来得到的.

师：如果先翻折再平移是不是一样的呢？

生：是.

师：那图14呢？谁来说说？

生：由图①先顺时针旋转90°得到图②，再由图②旋转90°并翻折过来得到图③.

师：你观察得非常仔细.运动只是改变了图形的位置、形状和大小不变.今后我们将会经常用运动的视角来研究图形，运动前后的两个图形全等.

【解析】笔者设计了“描述图形的运动和变化，并依据语言的描述来画出图形”这一操作活动，让学生尽可能多地观察、操作、类比，从而发展学生的空间观念.

3.变化中寻找不变，体悟数学抽象思维

小组讨论：如图15，你能用不同的方法，沿网格线将正方形分割成两个全等的图形吗？

（学生小组合作，5分钟后学生上台演示，展示成果，如图16）

图15

图16

师：说说看，你们是怎么找到这些分割线的？

生：我们是一条一条试出来的.

师：有没有一般的方法呢？

（生沉默）

师：横向与纵向其实是一样的，因此，我们只要找到一个方向就可以了.我们不妨选择横向.大家仔细观察一下，分割后两个图形是什么关系？

生：全等.

师：这些分割线都经过一个什么点？

生：中心点.

师：你能想清楚为什么吗？

生：因为分割后的两个图形经过旋转是能够重合的.换句话说，这个分割线也一定被中心点分割成两个全等图形.

师：你的发现真妙！其实我们寻找分割线，就是要找从左侧边界上的点到中心点的连线就可以了.如图17，这两个点之间沿网格线有几条可连的分割线呢？

生：四条.

图17

图18

师：还有别的发现吗？

生：左侧中间那个点与中心点之间也有两条可连的分割线.

师：同学们再画时，是不是就简单了？只要画出左半边的分割线，根据全等图形的特征，另外半边就马上可以补出来了.

【解析】引导学生在变化中寻找不变，由全等的概念展开联想，从而抽象出两个点之间的连线，让学生经历数学思考的过程，从而提升学生的思维能力.

二、教学反思

本节课是《全等三角形》单元的起始课，又是学习平面图形关系的引言课，隐含地指出平面几何的研究对象是图形的形状和大小，把对称、平移和旋转作为研究平面几何的基本工具，把图形的分割与拼接作为研究平面几何的基本方法.

（一）概念的建构必须着眼于数学现实

概念教学的核心是概括，需要以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各实例的属性，抽象概括共同本质属性，从而归纳形成数学概念.对全等图形数学特质的描述是一个看似简单、却又有丰富内涵的过程.教材将全等图形的概念描述为“能够完全重合的图形称之为全等图形”，其特征为“形状相同、大小相等”.那么，为什么不直接将全等图形定义为“形状相同、大小相等”呢？笔者认为，根源在于难于进行观察和运算，用数量关系来描述图形的形状、大小的难度要比“重合”要高.从这个意义上来说，图形全等的数学本质就是“重合”.因此建构“全等图形”的概念必须引导学生用数学眼光来观察身边的“重合”现象，从而提炼出这一类图形的共性特征.

（二）概念的理解需要经历数学思考

就教师而言，“全等图形”无疑是一个非常简单的概念，但这种“简单”其实是我们在数学学习过程中历经千辛万苦、长期积累才得到的.由于数学概念的高度抽象性，学生对貌似简单的数学概念往往需要费很大周折才能真正理解.如果忽视这一点，就会造成教师以为学生很懂，而学生实质“懵懂”的教学现象.因此，在教学中，教师必须要追溯概念本源，展现其形成过程，充分挖掘概念的内涵和外延，帮助学生理解全等图形的特征.

本课例首先借助“数学实验”帮助学生从感性上来体悟图形的全等.由于缺少对图形的数量关系的描述，学生对于两个图形是否“完全重合”的判断只能依赖目测，猜想图形“全等”.这种验证方法并不可靠.显然，印在纸上的平面图形无法运动，但是，借助数学实验材料——透明纸，就能实现图形的平移、旋转、翻折，从而判断图形是否全等.

其次利用“逆向思维”建构认知冲突来思辨概念.既然可以用平移、旋转、翻折的方法来检验图形是否重合，那么平移、旋转、翻折后的图形是否和原图形全等？这样的想法自然产生，而通过对这个问题的说理思辨可以让学生进一步加深对“完全重合”这一概念的理解.

最后通过控制“形状”“大小”这两个变量来挖掘概念的内涵和外延.笔者先利用“同一底片”来控制形状，再“利用3个边长为1的正方形”来控制大小，让学生感悟“完全重合”的特征就是“形状、大小相同”，而形状、大小是可以用数量关系来描述的，通过有趣且有效的数学活动让学生深度理解全等图形的特征.

（三）概念的应用需要体悟数学抽象

数学抽象要以基于感知和操作所得到的知识经验为基础，通过典型实例引导学生比较、分析，充分讨论、理解归纳共同属性.本节课站在系统思维的高度引领学生经历图形研究的过程，体悟概念生成的基本方法.一是通过从复杂图形中抽象出基本的全等图形，培养学生的识图能力，感悟分类讨论的数学思想.二是根据图形变换规律画图，让学生在画图过程中描述图形的运动和变化，并依据语言描述来画出图形，发展学生的空间观念.三是沿网格线分割正方形，借助一个有挑战性的活动来积累图形研究的经验，笔者在教学过程中引导学生从他们所画的图形中寻找共性，进而引导学生发现所有的分割线均隐藏在三个特殊“点”之间的连线上 .