新课程理念下高中函数教学的思考

张莉

函数是贯穿于整个高中数学课程始终的重要思想之一。函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列3、4中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。因此，在整个高中数学课程中，如何帮助学生理解函数概念，学好函数，应用函数是教学的重要任务。下面就如何进行教学谈谈自己的想法。

一、加强函数与现实生活的联系，理解函数概念

通过丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要數学模型。在高中数学中，函数占有很重要的地位。我们在任何一个生活情景中，都会发现许多描述规律的函数关系。在其他学科，如物理、化学、生物、地理、社会、经济等学科中，描述规律的函数关系比比皆是。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。具有这种特征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在。通过这些学生熟悉的实例让学生对函数概念的实质有了感性的认识后，再用集合和对应的语言来刻画函数的定义，使学生形成对函数概念的理性认识。

函数的概念决非“函数的概念”一节所能完成，在指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、数列的教学过程中，应始终带有“概念教学”的意识，不断加深学生对函数概念的理解。这是一个多次接触、反复体会、螺旋上升的过程，是一个由浅入深、循序渐进的过程。

二、加强信息技术与课程的整合，研究函数性质

高中新课程中主要研究函数的单调性、奇偶性和周期性。由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此在教学过程中采用信息技术辅助教学可达到事半功倍的效果。例如，在课堂上用几何画板绘制出学生熟悉的二次函数 ，首先让学生观察图象并描述该图象的变化规律；然后在函数图象上任找一点P，并测出其坐标。（1）拖动点P，让学生观察当点P在抛物线上移动的过程中，横坐标px增大时，纵坐标py的变化规律，并把这种变化规律转化成数学符号语言的描述，得到单调性的数学定义。（2）作出点P关于y轴的对称点P/，测出坐标，发现点P/也在该函数图象上，拖动点P，观察这两点坐标的关系，在这基础上建立奇（偶）函数的定义。

又如，正余弦函数、正切函数都是刻画周期变化的函数模型。在教学过程中我们可以先用几何画板准确快速地画出三角函数图象，引导学生观察该图象的特征，使学生在对这种“周而复始”的变化规律有一个形象的认识，然后让学生思考诱导公式是如何反映这种变化规律的，最后引导学生了解“周而复始”的变化规律的代数刻画，给出周期性的概念。

而在研究指数函数、对数函数的性质时，可以让学生利用计算机作出函数图象，然后再通过底数a的连续动态变化展示函数图象的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出函数性质。

三、加强对基本函数模型的认识和把握，渗透模型思想

在高中阶段，学生应掌握的基本函数模型有：指数函数、对数函数、简单的幂函数、三角函数、数列，还有简单的分段函数等等，这些都是基本的、重要的函数模型。如何让学生把这些模型留在头脑中，并能帮助思考问题呢？

首先，应该把函数概念的整体理解与每一个具体的模型有机地结合起来。我们在对每一个具体函数模型教学的过程中，可以通过这些函数的解析式、函数图象、变量与变量之间的依赖关系来理解函数概念。其次，把研究函数性质的方法结合到研究这些基本函数的性质过程中，比如可用代数和导数的方法研究函数的单调性等等，帮助学生熟练掌握这些基本函数的性质，并让每一个基本函数的图形留在学生的头脑中。在这基础上，进而帮助学生对这些模型进行比较、梳理，比如我们可以通过具体的实例来比较指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异，在整个学生过程中让学生用计算机画出三种函数的图象，进行观察、比较，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义，在更高的层次上把握每个基本函数模型的特点。最后，帮助学生养成一种习惯，借助于具体的模型，思考抽象问题。在数学思维中，无论讨论什么样抽象的问题，脑子都不能空，需要有具体模型的支持，这样才能使抽象的问题变得简洁。

四、加强函数与其他知识的联系，注重函数应用

函数的应用反映在两个方面：一方面，用函数解决现实生活中一些简单的实际问题；另一方面，用函数思想讨论其他的数学问题。

利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面。我们在教学中可以选择贴近学生认知水平、贴近学生生活的数学问题，引导学生积极思考，抓住问题的实质，建立数学模型，利用我们熟悉的函数模型解决问题，培养学生的应用意识，加强学生学习数学的兴趣，提高分析和解决问题的能力。例如，可以用指数函数模型解决增长率问题，用等差、等比数列讨论存款、贷款问题等等。

用函数讨论其他数学问题，这是高中数学学习需要认真思考的问题。例如，用函数讨论方程的根的问题，教学中尽量让学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，因此分三步来展开这部分的内容。第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形.第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系。第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系。还可在平面解析几何的学习中通过类比、联想，体会直线的斜截式与一次函数的联系；在数列的学习中体会等差数列与一次函数的联系，等比数列与指数函数的联系；在导数的学习中通过与前面函数性质学习的比较，体会导数在研究函数性质时的一般性和有效性； 在线性规划问题的学习中渗透函数思想，解决最优化问题。

总之，在高中数学新课程教学过程中，我们应该强调基本知识、基本技能和基本能力，同时，我们还应该强调整体地理解函数在高中数学课程中的地位和作用，才能更好地把握每一部分内容，才能提高教学的效率，并帮助学生学会整体地理解函数，不断地梳理头脑中的知识网络，养成良好的数学学习习惯。