基于改进傅里叶级数的矩形板薄板振动特性分析

陈 林，肖 伟，刘见华，杜 圆

（1.中国船舶及海洋工程设计研究院，上海 200011； 2.中国舰船研究设计中心，武汉 430064；3.哈尔滨工程大学 船舶工程学院，哈尔滨 150001）

矩形板结构在船舶[1]、航天[2]、土木及车辆[3]等学科中有着大量的应用，其振动特性一直以来备受关注。矩形板动力学求解一般围绕其控制方程和边界条件进行，目前常用的方法有幂级数法[4]、有限板条法[5]、能量法[6]以及 Green 函数法[7]等。Gorman[8]提出用系统叠加法来求解各种边界条件下板的振动问题。hurlebaus等人[9]提出用傅立叶余弦级数的方法来计算四边自由板的固有频率和模态振型。Filipich和Rosales在文献[10]中提出了一种变分方法，即所谓的全元法（WEM），来计算矩形薄板在四边自由边界条件下的固有频率。

但上述方法仅能对简单边界条件下的矩形薄板振动问题进行求解，实际工程中的边界条件往往复杂多变，需对任意边界条件下矩形薄板的振动问题进行求解。本文将薄板振动的位移函数表示成二维傅里叶余弦级数和辅助级数的线性组合，通过辅助级数项的引入解决薄板在边界处的不连续性，然后通过改变横向位移约束弹簧刚度值k和旋转约束弹簧刚度值K来模拟任意边界条件。旨在对矩形薄板在任意边界条件下的动力学问题进行快速高效的求解，为工程应用提供参考。

1 矩形薄板振动理论模型

1.1 模型简介

矩形薄板长为b，宽为a，厚度为h，薄板的边界条件由四条边上均布的弹簧来模拟。

图1 任意边界条件下的矩形薄板示意图

其中：kx0、kxb分别代表x=0,x=b边界上横向位移约束弹簧的刚度，Kx0、Kxb分别代表x=0，x=b边界上旋转约束弹簧的刚度，ky0、kya分别代表y=0，y=a边界上横向位移约束弹簧的刚度，Ky0、Kya分别代表y=0，y=a边界上旋转约束弹簧的刚度。当弹簧kx0、Kx0刚度趋于无穷时，即表征x=0边界刚性固定；当弹簧kx0、Kx0刚度均设置为零时，即表征x=0边界自由；当弹簧kxb刚度设置为无穷，Kxb刚度设置为0时，即表征x=b边界简支。

1.2 位移容许函数

传统傅里叶级数表征位移容许函数时，存在边界不连续问题。因而改进傅立叶级数被提出，并应用在旋转壳[11]以及环形扇板[12]等结构的振动分析中。

式（1）中：λm=mπ/a，λn=nπ/b，Amn，Bmn，Cmn和Dmn分别用来表征矩形薄板位移函数中的未知Fourier系数，简谐时间因子eiωt用来表征薄板位移随时间的变化。矩形薄板的振动控制方程需对位移容许函数进行4阶偏微分求导，这就要求位移容许函数3阶求导后仍连续。辅助傅里叶正弦级数的引入使上述位移容许函数满足该条件。

1.3 结构控制方程

表面受法向载荷q(x,y,t)作用下薄板的运动微分方程可以表示为

当薄板振动为自由振动时，薄板上并不受力，即q(x,y,t)=0，上式简化为：

式（3）中：D为薄板的弯曲刚度、ρ表示薄板的密度、h表示薄板的厚度，w(x，y)为上节中的位移容许函数。

1.4 求解过程

矩形薄板弯曲产生的应变能如式（4）所示

式（4）中：D=Eh³/(12(1-μ²))表示矩形薄板的弯曲刚度，E为薄板的杨氏模量，μ为薄板的泊松比；矩形薄板边界弹簧所储存的弹性势能如式(5)所示

矩形薄板系统的动能T表示为

矩形薄板表面均匀分布的外载荷所做的功可以表示为

矩形薄板表面集中力所做的功可以表示为

式（8）中：F为集中力的幅值，d为狄拉克函数（单位脉冲函数），(xe，ye)表示作用点位置。

综上，将式（4）到式（8）代入可得矩形薄板拉格朗日函数为

将式（9）代入式（10）求解可得矩阵方程如下：

式（11）中：[K]=[Kp]+[Ks]，[Kp]是矩形薄板应变势能刚度矩阵，[Ks]是矩形薄板边界弹簧势能刚度矩阵，[M]是矩形薄板质量矩阵，B为未知的傅里叶级数，F为外部激励载荷，B与F具有相同维度。

当F=0时，上面的矩阵方程表征矩形薄板的自由振动，对其进行特征值求解可得到矩形板的固有频率及阵型。当F≠0时，上面的矩阵方程表征矩形薄板的强迫振动，某一频率ω激励下矩形薄板结构响应的未知傅里叶级数可由下式求得

将求解得到的未知傅里叶级数代入到式（1）中，即可以求得矩形薄板此频率激励力下的位移响应。

2 方法有效性验证

为验证本文方法有效性，首先研究位移容许函数中截断数M、N对矩形薄板固有频率的影响，确定后续计算中所选取的截断数；其次，研究边界弹簧刚度对计算结果的影响，从而确定表征任意边界条件时的弹簧刚度值。最后，将本文在任意边界条件下的固有频率计算结果与文献以及有限元（ABAQUS）结果进行对比，从而验证方法有效性。

为了便于与现有文献以及有限元计算解进行对比，矩形薄板材料参数如下：密度ρ=7850kg/m3，泊松比μ=0.3，杨氏模量E=2.1×1011Pa，并对计算结果进行无量纲化处理，无量纲化公式为：。此外，下文中边界条件：C代表刚固，S代表简支，F代表自由。

2.1 截断数对方法收敛性影响分析

式（1）中的截断项M、N取值不同，会对计算结果产生较大影响，因而需对截断数与方法收敛性的关系进行探究。将矩形薄板的边界条件设为CF－F－F（C、F、F、F依次对应x=0，y=0，x=b，y=a），矩形薄板边长b=10 m，宽a=10 m，厚度h=0.02 m，该薄板无量纲化后前6阶固有频率如表1所示。

由表中计算数据可知截断数M=N=13后，算例中矩形薄板固有频率已基本不变，说明本算法已收敛，在后面的计算中将选取截断数M=N=13。

表1 不同的截断值M、N下C－F－F－F矩形薄板结构无量纲频率参数Ω

2.2 边界弹簧刚度对计算结果影响分析

旋转约束弹簧刚度值与横向位移约束弹簧刚度用来表征薄板边界条件，对矩形薄板无量纲频率参数影响较大。取边长a=10 m，宽b=10 m，厚度h=0.02 m的矩形薄板作为研究对象，将矩形薄板四边的横向位移约束弹簧刚度设置为1010N/m，旋转约束弹簧刚度设置为0 N·m/rad，即S－S－S－S（四边简支）边界条件。逐渐增大旋转约束弹簧的刚度K，矩形薄板的前3阶固有频率变化如图2所示。

图2 前3阶固有频率随旋转约束弹簧刚度K的变化

由图2可知，随旋转约束弹簧刚度的增大，矩形薄板固有频率呈逐渐增大趋势，且旋转约束弹簧刚度在101N·m/rad～105N·m/rad范围内变化时固有频率变化显著。当旋转约束弹簧刚度大于1010N·m/rad后，矩形薄板固有频率已基本不变，S－S－S－S(四边简支)边界条件变为C－C－C－C(四边刚固)。

将四边旋转约束弹簧刚度K设置为1010N·m/rad，横向位移约束弹簧刚度k从零开始逐步增大，矩形薄板前3阶固有频率如下图所示。横向位移约束弹簧刚度k从102N/m逐步增大到107N/m的过程中，矩形薄板前3阶固有频率变化显著。横向位移约束弹簧刚度k增大到1010N/m时，矩形薄板固有频率已基本不发生变化。

图3 前3阶固有频率随横向位移约束弹簧刚度k的变化

下文中将横向位移约束弹簧刚度k与旋转约束弹簧刚度K分别设置为1010N/m与1010N·m/rad来表征完全刚固边界条件。通过图2与图3的对比，可以发现横向位移约束弹簧刚度k对矩形薄板固有频率的影响大于旋转约束弹簧刚度K。

2.3 典型边界条件下矩形薄板振动特性计算

为了更有效地验证本方法，将对不同长宽比矩形薄板在经典边界条件下的固有频率无量纲参数与文献及有限元结果进行对比。此外还列出了长a=2 m，宽b=1 m，厚h=0.002 m的矩形薄板在C－CC－C边界条件下，采用本文计算方法与有限元软件（ABAQUS）计算得到的前6阶振型对比图4。有限元软件（ABAQUS）计算过程中，单元类型为S4R单元数为105，计算结果收敛且准确，可起到参照对比作用。

表2 C－F－F－F边界条件下不同的长宽比矩形薄板无量纲频率参数Ω

表2至表4三种典型边界条件下的数据说明，本文方法计算结果与文献解及有限元解吻合良好，方法准确可靠。

表3 C－C－C－C边界条件下不同长宽比矩形薄板无量纲频率参数Ω

表4 S－S－S－S边界条件下不同长宽比矩形无量纲频率参数Ω

2.4 弹性边界条件下矩形薄板振动特性计算

为进一步验证本文方法有效性，对不同长宽比矩形薄板在弹性边界条件下固有频率无量纲参数与有限元结果进行对比。矩形薄板四边约束弹簧刚度分别取k1=103N/m、k2=104N/m、k3=105N/m。

表5 k1弹性边界条件下不同长宽比矩形薄板无量纲频率参数Ω

由表5至表7可知，弹性边界条件下本文与有限元软件计算结果吻合良好，进一步说明本文方法可适用于矩形薄板结构任意边界条件下自由振动特性分析。

表6 k2弹性边界条件下不同长宽比矩形薄板无量纲频率参数Ω

表7 k3弹性边界条件下不同长宽比矩形薄板无量纲频率参数Ω

3 矩形薄板振动特性分析

本文第2节已验证该方法有效性，本节将基于上述方法探究矩形薄板长宽比r与薄板固有频率的关系。

厚度h=0.02 m的矩形薄板，在S－S－S－S边界条件下，不同长宽比r矩形板对应的前6阶固有频率值如表8所示。其前3阶固有频率随长宽比r变化曲线如图5所示，由图可得在S－S－S－S边界条件下，随着长宽比r的增大，矩形薄板固有频率逐渐减小，当长宽比r大于10时，变化已趋于平缓。CC－F－F边界条件下，不同长宽比r矩形板对应的前6阶固有频率值如表9所示，矩形薄板长宽比r与前3阶固有频率的关系如图6所示。对比可知，不同边界条件下矩形薄板各阶固有频率差异较大，但固有频率随长宽比r的变化趋势相同。

4 结语

通过改进傅里叶级数表征矩形薄板的位移容许函数，列出矩形薄板拉格朗日方程后，基于Hamilton原理求解得到矩形薄板各阶固有频率与阵型。通过与文献及有限元计算结果对比，验证了本文方法有效性。通过本文研究，可得如下主要结论：

表8 S－S－S－S边界条件下不同长宽比薄板固有频率/Hz

图4 C－C－C－C边界条件矩形薄板前6阶振型对比图

图5 S－S－S－S边界条件下固有频率随长宽比r变化

表9 C－C－F－F边界条件下不同长宽比薄板固有频率/Hz

图6 C－C－F－F边界条件下固有频率随长宽比r变化

(1)将横向位移约束弹簧刚度k与旋转约束弹簧刚度K分别设置为1010N/m与1010N·m/rad来表征完全刚固边界条件合理可行，横向位移约束弹簧刚度k对矩形薄板固有频率的影响大于旋转约束弹簧刚度K。

(2)随着矩形薄板长宽比增大，其固有频率呈减小趋势。

(3)通过改进傅里叶级数法求解薄板振动特性准确度高、速度快，收敛性好。