一题多解，促进学生灵活思考

汤井亮

[摘 要]“鸡兔同笼”问题是中国古代的趣题之一。以“鸡兔同笼”问题为例，引导学生进行一题多解 ，可促进学生灵活思考和有效进行数学建模，从而培养学生的思维能力和解决问题的能力。

[关键词]鸡兔同笼问题；一题多解；灵活思考

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）29-0032-01

【问题缘起】在一次教研活动上，我们数学教研组首先围绕“数学好題”展开讨论，有的教师认为教材中基础性的题目就是“数学好题”，因为它们能落实新课标的知识和能力目标；有的教师认为奥数中的题目就是“数学好题”，因为它们能开阔学生的视野，培养学生的数学思维；有的教师认为教材中能用多种方法来解决的一类题目就是“数学好题”，因为它们不仅有助于不同思维层次的学生都寻找到适合自己的解决问题方法，还有助于教师把握学生的数学思维水平。接着，我们进一步筛选“数学好题”的经典范例，最终大家一致推选《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题、“进水出水”问题等为“数学好题”。

在实践中，我们选择一道典型的“鸡兔同笼”题目“鸡兔同笼，共17个头，42条腿，问鸡和兔各有多少只？”来让不同年级的学生解决。从上交的作业中，我们发现大部分学生都得到了正确答案，但是他们的解法并不相同。比如二年级学生，有的采用画图的策略，先画出一些简单的几何图形表示鸡和兔，在不断修改中促使鸡和兔的腿是42条，从而顺利地找到鸡和兔的数量；有的学生运用乘法口诀来凑数，计算出鸡和兔的数量。三、四年级学生除了画图、凑数以外，有的学生用列表法将所有可能的答案先罗列出来再进行选择；有的学生选择用假设法来解决问题，如先假设17个头全是鸡或者全是兔，再根据“鸡与兔的腿相差2条”这个信息调整鸡与兔的数量。五、六年级学生解决“鸡兔同笼”问题的方法更加多样化，除了上述方法外，他们还能运用列方程的方法来解决问题，比如设鸡有x只，那么兔有（17-x）只，根据“腿有42条”列出方程2x+4[×]（17-x）=42求出未知数x的值，最后推算出鸡和兔的数量。

【本质探求】“鸡兔同笼”问题是中国古代著名的趣题之一，它共有8种解法：（1）列表法；（2）画图法；（3）“金鸡独立”法：让每只鸡都一只脚站立着，每只兔都用两只脚站立着，那么此时鸡和兔地上的脚数是总脚数的一半，即鸡的脚数与其头数相同，而兔的脚数是其头数的2倍；（4）吹哨法：假设鸡和兔接受过特种部队训练，吹一声哨，它们抬起一只脚；再吹一声哨，它们又抬起一只脚，这时鸡都坐在地上，兔子还有两只脚立着，这些脚都是兔子的，用此时的脚数除以2就是兔子的只数了；（5）假设法：假设全部是鸡或者全部是兔；（6）“特异功能”法：假设鸡有特异功能，把两只翅膀变成2只脚，那么鸡也有4只脚，或者假设鸡和兔都有特异功能，鸡飞起来，兔立起来，那么站在地上的脚全是兔子的；（7）砍足法：假如把每只鸡砍掉1只脚、每只兔砍掉2只脚，则每只鸡变成“独角鸡”，每只兔变成“双脚兔”。若笼子里有一只兔子，则它的脚的总数就比头数多1；（8）方程法：设鸡或兔的只数为x，列出方程后计算出鸡和兔的只数。

【教学反思】“数学好题”，一好在能够一题多解，能让不同思维层次的学生都能得到解题方法，二好在具有开放性，能让学生开动脑筋、畅所欲言；三好在具有层次性，能让不同思维层次的学生都能完成对应层次的题目，如让学优生不断挑战高层次题。显然，“鸡兔同笼”问题是一道数学好题，理由如下。

1.一题多解，拓宽学生数学思维。“鸡兔同笼”问题，能够让不同年级的学生都找到适合自己的解题方法。当然，这些方法有的是低阶思维，有的是高阶思维，因此在中高年级教学时，教师不妨将学生动脑筋想出来的方法进行比较分析，引领他们从低阶思维走向高阶思维。

2.举一反三，促进学生进行数学建模。学生解决“鸡兔同笼”问题的过程就是一个数学建模的过程，“鸡兔同笼”问题还可延伸到购物问题、工程问题、年龄问题、划船问题等，只要把题中的事物看成“鸡兔同笼”问题中的“鸡”和“兔”即可。而当学生掌握“鸡兔同笼”问题的解题方法和学会建立“鸡兔同笼”问题模型后，他们遇到同类数学问题或者相似的数学问题就能举一反三、触类旁通。

总之，教师要充分利用每一道“数学好题”，让学生经历充分思考、小组讨论、全班分享、个人纠错等活动，教师还要从一道“数学好题”走向一组“数学好题”，在一组题目中引导学生学会建立数学模型、灵活思考和运用数学知识，从而发展学生的数学思维能力，培养学生的创造性思维。

（责编 黄春香）