非均匀空心线圈偏心误差建模研究*

陈刚，胡琛，焦洋，杨世海，赵双双

(1.国网江苏省电力公司电力科学研究院, 南京210019；2.华中科技大学，武汉 430074；3.国家电网公司电能计量重点实验室，南京 211103)

0 引 言

空心线圈具有线性度好、测量范围大、频带宽等优良特性，被业界认为是传统电磁式互感器的理想替代品，在智能变电站中得到了较广泛的应用[1-3]。然而，实际运行表明，在载流体偏心情况下，空心线圈可能出现误差超差的现象，导致其难以满足电力系统安全稳定运行和可靠计量的要求[4-6]。理论上，空心线圈是均匀密绕的，空心线圈的测量准确度不受载流体位置的影响。然而，由于设计工艺等问题，理想空心线圈不可制造，绕组沿空心线圈呈现了非均匀分布，针对非均匀绕制空心线圈的偏心误差，具有重要的实际意义。

文献[7]研究了PCB型空心线圈的电气参数以及偏心误差的理论计算方法，然而该研究没有计及绕组不均匀度的影响。文献[8]分析了空心线圈精度随一次导体偏心距离的变化规律，对设计的多个空心线圈进行了偏心试验，但是该研究同样没有考虑空心线圈绕组不均匀度的影响。综上所述，目前对非均匀空心线圈的偏心误差及其影响因素的研究还不够深入。

为此，本文将针对矩形截面的空心线圈，建立空心线圈均匀和非均匀情况下偏心误差模型，研究偏心误差影响因素，为偏心误差的抑制措施提供理论依据。

1 均匀空心线圈模型

矩形截面的空心线圈易于制作，性能稳定，在实际中得到了广泛广泛，本文以此结构的空心线圈为例，图1中，r1为线圈内径，r2为线圈外径，h为线圈的高度，d为偏心距离，B为电流产生的平均磁感应强度，B1表示在线圈切向方向的磁感应强度，x、r、θ、δ的定义见图1。

图1 均匀空心线圈几何模型

当载流体不偏心，且空心线圈满足截面均匀、绕组分布均匀的条件时，根据安培环路定理，以下关系式成立[9-11]：

(1)

式中μ0为真空磁导率，i为流过一次载流体的电流，x为距离载流体中心的距离，φ1为穿过线圈的磁链，N为线圈匝数，s为线圈截面积。根据式(1)可以求得载流体不偏心情况下空心线圈互感M1为：

(2)

当载流体偏心时，根据安培环路定理以及图1中的几何关系，可以得到：

(3)

其中，φ2为此时穿过线圈的磁链，变量定义和前文一致，由式(3)求得空心线圈互感为：

(4)

化简式(4)，得到此时空心线圈互感为：

(5)

比较式(2)和式(5)可见：只要空心线圈的绕组均匀分布，即使载流体出现偏心情况，空心线圈互感不发生变化，即不存在偏心误差。

2 非均匀空心线圈模型

一方面，线圈绕制受到了制作工艺的局限，另一方面，因为在线圈的第一匝和最后一匝之间要接入线圈负载，绕组必然存在不连续性。因此，空心线圈的绕组很难做到均匀绕制。本节将考虑非均匀绕制空芯线圈偏心误差。

为了简化分析，假设空心线圈不均匀绕组部分集中在如图2所示的一个弧度为α阴影区域，本文之后部分用α来表示线圈的不均匀度。当载流体所在平面和不均匀绕组所在平面的相对位置为τ时，磁场求解依然可以按照前文思路，但是此时沿线圈的积分路径不再是2π，而为(τ+α)～ (2π+τ)。可以得到以下关系式：

(6)

其中，φ3为此时穿过线圈的磁链，其余参数定义和前文一致，化简式(6)，可以得到载流体偏心情况下不均匀绕制空心线圈的互感为：

(7)

图2 非均匀空心线圈几何模型

由式(7)可见：如果绕组分布不均匀，且载流体出现了偏心现象时，空心线圈互感不再等于式(2)的计算结果，定义空心线圈的偏心误差e为：

(8)

如式(8)可见，当线圈绕组分布不均匀时，空心线圈偏心误差影响因素包括3个因素：(1)偏心距离d；(2)绕组不均匀度α(以下简称不均匀度)；(3)载流体和不均匀绕组的相对位置τ(以下简称相对位置);(4)线圈的内经r1和外径r2。

假定有三只空心线圈(RC1、RC2、RC3)，结构参数如表1所示。其区别在于RC1的内径为40 mm，外径为60 mm；而RC2的内径不变，外径增大为80 mm；RC3的内径减小为30 mm，外径不变。

表1 空心线圈结构参数

首先固定不均匀度α为0.5°，当相对位置τ从0°～180°范围、载流体偏心距离d从0～0.8r1范围变化时，空心线圈RC1、RC2和RC3的偏心误差和偏心距离、相对位置的关系如图3～图5所示。可以看出当不均匀度固定时，偏心距离越大，偏心误差越大，最大误差可达约7%。此外，相同条件下RC1的偏心误差大于RC2和RC3的偏心误差。

图3 RC1偏心误差和偏心距离、相对位置的关系

图4 RC2偏心误差和偏心距离、相对位置的关系

图5 RC3偏心误差和偏心距离、相对位置的关系

然后固定偏心误差d为0.25r1，当相对位置τ从0°～180°范围、不均匀度α从0.1°～1°范围变化时，空心线圈RC1、RC2和RC3的偏心误差和不均匀度、相对位置的关系如图6～图8所示。可以看出当偏心距离固定时，RC1的偏心误差在相对位置120°附近偏心误差达到了最大值，误差为0.18%；RC2的偏心误差在相对位置120°附近偏心误差达到了最大值，误差为0.18%。RC1的偏心误差大于RC2和RC3的偏心误差。

图6 RC1偏心误差和不均匀度、相对位置的关系

图7 RC2偏心误差和不均匀度、相对位置的关系

图8 RC3偏心误差和不均匀度、相对位置的关系

最后固定相对位置τ为0°，当载流体偏心距离d从0～0.8个范围，不均匀度α从0.1°～1°范围内变化时，空心线圈RC1、RC2和RC3的偏心距离、不均匀度对空心线圈偏心误差的影响如图9～图11所示。可以看出当相对位置固定时，偏心距离越大，偏心误差越大，最大误差约4%。相同条件下RC1的偏心误差大于RC2的偏心误差。

图9 RC1偏心误差和偏心距离、不均匀度的关系

图10 RC2偏心误差和偏心距离、不均匀度的关系

图11 RC3偏心误差和偏心距离、不均匀度的关系

综合仿真结果可得：(1)不均匀度仅有0.5°时便足以造成10%的互感系数误差，从而影响电流测量的准确度；(2)偏心误差和线圈的尺寸结构有密切的关系，当内径保持不变，增大线圈外径时，偏心误差将有所降低；(3)偏心误差同样也受到相对位置的影响，存在最大值。偏心距离较小时，影响也较小。

3 试验测试

设计了3个矩形截面空心线圈(线圈1、线圈2、线圈3)。样机的线圈由0.5 mm漆包铜线绕制。虽然实际生产的空心线圈不均匀度较小，但是为了得到较大的空心线圈输出从而减少量化误差，不均匀度设计为1°，相对位置为90°。被测空心线圈的结构参数与表1一致，电气参数如表2所示。

表2 空心线圈电气参数

为了测试空心线圈的偏心误差，搭建了如图12所示的测试系统。其中，升流器能够产生2 000 A的额定电流。0.02级标准CT变比为1 000/5。标准CT输出接至一个标准电流转换器，标准电流转换器包括一个变比为100:1的小互感器以及一个10 Ω高精度的无感电阻。空心线圈输出接至积分器[12-14]放大和积分还原后，和标准CT的数据同时被NI PCI-4474采集卡采集，采集卡将采集后的数字信号通过RTSI接口发送给电子式互感器校验仪[15-16]。试验过程中的环境温度为26℃。

保持一次电流为1 000 A，将一次载流体中心与空心线圈中心的距离从4 mm增大至32 mm，步进距离为4 mm，每个偏心距离情况下测试10次，结果取10次的平均值。3个空心线圈比差测试结果如图13所示。当偏心距离超过4 mm时，空心线圈的偏心误差超过了0.2%，当偏心距离超过16 mm时，空心线圈的偏心误差超过了1%。由此看见，非均匀空心线圈的偏心误差将受到偏心距离的显著影响，如果能够将偏心距离控制在16 mm内，则可以满足保护的要求，如果能够将偏心距离控制在4 mm内，才可满足测量的要求。但是实际运行过程中，这一要求往往无法满足。因此，需对降低空心线圈偏心误差的措施进行研讨。此外，线圈1的误差测试结果大于线圈2和线圈3的偏心误差，验证了结构参数对于偏心误差的影响。

空心线圈相差测试结果如图14所示，可以看出，随着偏心距离的变化，线圈的相差始终保持在5′内。因此，可以判断一次载流体偏心并不会引起空心线圈相差的改变。根据理论推导，偏心距离不会对相差造成影响，这和试验结果是吻合的。

线圈1偏心误差的理论计算结果和测试结果在图15中进行了比较，从该图可以看出，理论分析结果和实际结果之间的最大偏差为0.11%，最小偏差仅为0.03%，比较结果表明本文建模方法可以有效评估偏心距离对空心线圈偏心误差的影响。

图12 测试系统原理图

图13 空心线圈比差变化

图14 空心线圈相差变化

图15 线圈1试验结果和理论结果的比较

4 降低误差的措施

为了减小空心线圈的偏心误差，实现其工程化应用，可以考虑从以下几个方面着手：

(1)适当增加空心线圈的匝数，改善线匝沿空芯线圈分布的均匀性，从而减小不均匀度，相应地减小偏心误差;

(2)利用固定或者浇注等方式，一方面减小一次载流体偏心距离，另一方面也避免载流体和不均匀绕组之间的相对位置的变化，从而减小偏心误差;

(3)设计空心线圈时，尽量采用外径和内径之比较大的空心线圈(即较厚的空心线圈)，从而减小偏心误差;

(4)在现场安装好空心线圈互感器后，在运行前对其进行标定。当线圈和载流体的位置都固定时，偏心误差为固定值，此时也可通过补偿的方法消除载流体偏心对互感系数的影响。

5 结束语

本文基于空心线圈原理，建立了均匀空心线圈和非均匀空心线圈的偏心误差模型，理论研究了偏心距离、不均匀度、相对位置以及线圈结构对偏心误差的影响。在此基础上，进行了不同偏心距离下空心线圈的准确度试验，结果表明：

(1)空心线圈绕组均匀情况下，即使载流体出现偏心情况，也不会产生偏心误差；

(2)空心线圈绕组不均匀情况，载流体偏心距离、线圈不均匀度、相对位置以及线圈结构将影响空心线圈偏心误差。线圈外径和内径之比越大，空心线圈的偏心误差越小；

(3)偏心距离只会对空心线圈的比差造成影响，对角差则无任何影响；

(4)为了减小空心线圈的偏心误差，可以从线圈结构设计、载流体安装、误差修正几个方面入手，这是一个系统工程，需要具体问题具体分析。