浅析导数含参题型的一些常见题型及其解法

林洪锦

摘 要：导数题型在高考中是一个重点也是难点，考查题型灵活多样，解题方法也比较多.求参数的值或取值范围是考试中出现频率相当高的一种题型，由于含参函数问题本身具有复杂性，涉及到不等式、导数、函数等多个知识点，大多数学生在解决这类问题时感到很棘手，是学生失分较多且不易掌握的知识点.本文通过解析几个例题对此类问题加以分类解析，希望能对学生掌握这个部分知识有所帮助.

关键词：导数 参数 构造函数 取值范围 最大值 最小值

中图分类号：G633.6 文献标識码：A 文章编号：1003-9082（2018）10-0-02

导数题型在高考中是一个重点也是难点，考查题型灵活多样，解题方法也比较多.求参数的值或取值范围是考试中出现频率相当高的一种题型，由于含参函数问题本身具有复杂性，涉及到不等式、导数、函数等多个知识点，大多数学生在解决这类问题时感到很棘手，是学生失分较多且不易掌握的知识点.本文通过解析几个例题对此类问题加以分类解析，希望能对学生掌握这个部分知识有所帮助.

一、参变分离题型

参变分离就是把要求解的参数放在一边，把函数放在另一边，然后通过求解函数来确定参数的值或取值范围的题型.

例1.已知函数有零点，求的取值范围.

分析：问题可以转化为方程有解，即有解.

令，则

易求得当时，函数为增函数；当时，函数为减函数

所以当时函数取得极大值，也是最大值，即，从而

例2.已知命题：是真命题，求实数的取值范围.

分析：不等式可转化为.

令，那么问题就可以理解为即可.

又，因为，所以恒成立，所以函数在上为增函数，所以，从而

二、参变结合题型

参变结合就是仍然把参数和变量结合在一起，把参数看成是函数的系数，然后通过求解含参函数来求解出参数的值或取值范围.

例3.设函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

解析：不等式可化为，即在上恒成立.

令，

令，即，解得

？当，即时，则有在上恒成立，所以函数在上为增函数，所以，即，即

？当，即时，则有时，；时，.所以函数在上为减函数，在上为增函数.所以，而（不合，舍去）

？当，即时，则有在上恒成立，所以函数在上为减函数，所以，即，即，而（不合，舍去）

综上所述，

三、与量词结合题型

在数学题型中，有时候一个字的不同，数学上的解题方向就完全不一样，这在对于含有量词“”，“”的题型上很好的体现出来.对于含有“”，“”这样的关键词语的题型，关键分析是要找最大值间的关系，还是找最小值间的关系.

例4.⑴已知命题“，使”为真命题，求的取值范围.

⑵已知命题“，使”为真命题，求的取值范围.

解析：⑴题的量词为“”，也就是说，对内任意的，都得满足条件，即对恒成立

令，，则

原不等式可转化为求的最大值

又，所以，所以

⑵题的量词为“”，也就是说，只要在内能找到一个，

满足条件就可以了，而没必要对内所有的，都得满足条件，即只要有一个满足即可

令，，则

原不等式可转化为求的最小值

又，所以，所以

四、转移参数法

有些题型在题目中给出变量的范围时不是给x的范围，而是给出参数的范围，那么我们反而要把参数看作变量把x当作参数.可以简单这么理解，题目给出的是那个量的范围，就把这个量当作变量，把要求解的量当作参数.

例5.设函数，若不等式对任意都成立，求实数x的取值范围.

分析：题目给出的是a的范围，求的是x的范围，那么题目就要转化为以a为变量，以x为参数，求参数x的取值范围.

解：由题得，所以不等式可化为，即

令，

因为，所以函数在上为增函数

所以，

所以，解得

例6.已知函数在区间上是增函数

⑴求实数a的值组成的集合A

⑵设关于x的方程的两个非零实根为.试问：是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由.

分析：题目第⑵题给出的是a及t的范围，求的是m的范围，那么题目就要转化为以a及t为变量，以m为参数，求参数m的取值范围.

解析：⑴，因为函数在区间上是增函数，所以，即在上恒成立

令，则有，

即，解得，所以

⑵方程可化为，即

又，所以为方程的两个非零实根，

所以，所以

又，所以

所以不等式对任意及恒成立可转化为对任意的恒成立，即在上恒成立

令，

？若，则函数在上为增函数，又

所以解得

？若，则函数（不合，舍去）

？若，则函数在上为减函数，又

所以解得

综上所述

导数含参问题形式多样，解法灵活多变，解题技巧性较强.在解题的过程中，要根据题目的具体条件，认真观察题目中的式子结果特征，从不同的角度和方向加以分析探讨，从而选择适当的方法快速而准确地解出问题.当然，除了以上的方法外，还有许多其它的方法，特别要注意的是，各种方法之间并不是彼此孤立的，而是几种方法的融合.因此，系统地掌握含参问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助.

参考文献

[1]李金花.导数解含参问题高考常见题型研究[J].数理化学习（高三）.2014（2）：5

[2]何琴.利用导数相关知识解决函数含参问题的常见题型[J].吉林画报（教育百家B）.2014（5）：199，253

[3]徐英.导数中含参问题解法浅探[J].考试周刊2015（60）：48-49