基于NURBS和遗传算法的潮流能水轮机翼型优化

李增亮, 孙召成, 张 琦, 冯 龙

(中国石油大学(华东)机电工程学院,山东青岛 266580)

获取海洋能量的途径主要是通过转能机械如水轮机将水流动能转换为机械能,其中水轮机转子叶片是决定潮流能利用效率高低的决定性部件,而叶片的水动性能又与翼型密不可分,因此设计出满足高水力性能要求的潮流能专用翼型对提高水轮机效率、潮流能的利用率具有极大意义。目前潮流能水轮机转子叶片翼型设计方法一般都是由风机叶片以及航空翼型设计理论发展而来,如美国的NACA标准系列翼型,至今已发展出多个系列,瑞典学者Bjorck设计的FFA-W系列翼型[1]优化了升阻比和升力系数; Laurens等[2]采用基于机翼截面的叶片动量理论设计获得了逼近贝茨极限的叶片;Wu等[3]提出以Schmitz 理论为基础的叶素动量理论设计叶片,在理论上充分论证了水轮机叶片各参数之间的关系;刘润泽等[4]将样条曲线及节点插入算法应用到透平叶片造型中能够构造任意形状的弯、扭、掠叶片;朱国俊等[5]采用贝齐儿曲线对水翼曲线进行参数化设计,并在多工况下对翼型进行优化设计。在改进叶片翼型设计理论之余,国内外研究人员还对翼型优化设计做了大量的研究工作,彭茂林等[6]将粒子群算法用于型线的优化,该优化方法对叶片形状设计优化起到显著作用;杨阳等[7]基于多目标遗传算法对风力机叶片进行了全局优化,在降低叶片质量的基础上,提高了年发电量。但是这些翼型设计理论在翼型构造方面大都存在不能精确描述二次曲线弧的弊端。因此鉴于NURBS方法在曲线描述方面的优势,笔者基于NURBS曲线构造理论对叶片翼型曲线进行参数化拟合。多目标遗传算法的应用可以有效地在给定区域内寻找最优解并解决目标函数之间的矛盾[8],以多攻角工况下升阻比为优化目标结合NURBS方法建立一种适用于潮流能水轮机叶片优化设计方法。

1 水轮机叶片翼型参数化设计

NURBS曲线是一种既能够描述自由型曲面的B样条曲线又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法,其表达式[9]为

(1)

其中

(2)

式中,Ri,k(u)(i=0,1,…,n)为k次有理基函数;ωi(i=0,1,…,n)为权或权因子,分别与控制顶点di(i=0,1,…,n)相关联。

首末权因子ω0>0、ωn>0,其他ωi≥0,以防止分母为零。Ni,k(u)称作德布尔-考克斯递推公式,定义为

(3)

式中,Ni,k(u)中下标i表示序号;下标k表示次数。

1.1 翼型数据点参数化设计

以NACA4415翼型为原始翼型曲线,在翼型曲线上选取n个坐标点为原始数据点,然后利用B样条插值方法反算出插值n个点的NURBS曲线控制顶点,利用初始曲线和计算出的控制顶点便可构造出叶片翼型曲线。

确定NURBS曲线节点矢量,这里采用修正弦长参数化方法对数据点进行参数化[10],如图1所示。修正弦长参数化计算式为

(4)

式中,ki为修正系数,其值大于等于1;|ΔPi-1|为数据点Pi-1与Pi之间的距离即Pi-Pi-1,其余相同;θi为弦线Pi-1Pi与弦线PiPi+1之间夹角的补角,并将其与π/2进行比较,取小值。

图1 NACA4415翼型型值点Fig.1 Airfoil value point of NACA4415

由于数据点增多,控制顶点数越多,曲线可控性越强,但是计算参数会相应增加,优化设计变量数目也会增加,相应的计算量和优化难度直线上升,因此为了控制优化难度及复杂性,选取原始翼型曲线上的17个翼型数据坐标点进行参数拟合。

通过修正弦长降低翼型曲线曲率,降低曲率突变段,使拟合后的翼型曲线更逼近原始翼型曲线,曲线光顺度也较高。

1.2反算插值曲线控制顶点

用于插值17个数据点Pi(i=0,1,…,16)的插值曲线方程为

(5)

(6)

由于还缺少两个方程才能解出所有控制点,因此需要补充两个附加方程,以切矢边界条件建立附加方程。由于三次B样条曲线的首尾数据点(控制点)有

d0=P0,

(7)

dn+2=Pn.

(8)

则有

(9)

(10)

确定首尾端点切矢后,可得方程组

(11)

令Δi=ui+1-ui则有

(12)

求解方程组即可求得全部控制顶点。

图2为NURBS拟合后的翼型曲线及控制顶点。由图2可以看出,拟合后的翼型曲线十分逼近原始翼型曲线,拟合效果良好。

图2 NURBS曲线拟合翼型Fig.2 NURBS fitting curve of foil

2 翼型水动力学性能计算

采用XFOIL软件计算翼型在不同攻角范围内的升阻力系数,XFOIL软件最初应用于空气动力学计算,后来Bahaj等[11]采用该软件做水动力学计算,证明XFOIL软件可模拟计算翼型表面的升阻力系数分布及翼型表面压力系数变化。图3为NACA4415在不同攻角α时升、阻力系数变化情况,图4为翼型升阻比与攻角关系。从图3、4中可以看出,在α=6°时升阻比最大,在α=13°时升力系数达到最大值,当攻角α超过13°时翼型升力系数会下降,进入失速点。

图3 翼型升阻力系数与攻角关系Fig.3 Relation between lift drag coefficient and attack angle for foil

图4 翼型升阻比与攻角关系Fig.4 Relation between lift-drag ratio coefficient and attack angle for foil

3 多目标优化遗传算法

遗传算法是针对达尔文生物进化理论进行的一种计算机模拟技术,模拟一个人工种群的进化过程,通过选择、杂交和变异等机制达到最优解的状态[12-15]。进行优化目标函数计算时,通常在选定的目标区域内让所有的目标函数存在最优解但目标之间往往存在相互冲突的矛盾,而作为一种快速有效的全局优化算法,采用多目标遗传算法解决翼型优化问题是一种最好的选择。

多目标优化问题的数学模型为

(13)

式中,Vmin表示向量极小化。

遗传算法流程如图5所示。改进的遗传算法[16-19]首先根据适应度目标函数值进行重新组序,同时考虑群体多样化以及适应度值的确定,并求解该值,剔除重复度较高的个体,将剩下的个体重新组群,然后根据群体规模确定是否进行下一步操作并给出判断值,不满足则重复上一操作,最后判断是否满足结束要求,是则结束,否则返回第一步。

图5 遗传算法流程Fig.5 Flowchart of genetic algorithm

4 水轮机翼型优化模型

4.1 优化目标

优化目标即高升阻比翼型,利用多目标遗传算法在多工况条件下进行优化计算。

高升阻比作为优化目标,可以优化得到在多攻角工况下具有良好升阻性能的水轮机叶片翼型,进而提高水轮机的转化效率和适应性。在给定相应的雷诺数和来流速度情况下,翼型在设计攻角α下的升阻比计算公式为

f(x)=Cl/Cd.

(14)

式中,Cl和Cd分别为翼型的升力系数和阻力系数;x为优化设计变量。

4.2 约束条件

由于翼型的升力主要是翼型背面的压降产生的,翼型的升阻力系数以及失速性能均由翼型背面型线决定,同时为了控制优化设计变量范围,选取翼型背面NURBS拟合曲线7个控制顶点和正面3个控制顶点作为优化目标。

将拟合后得到的翼型曲线的控制顶点作为优化设计变量,通过调整控制顶点的坐标改变其位置进而改变翼型曲线形状;将控制顶点的横坐标固定,只改变其纵坐标值,这样既可通过修改控制点的坐标修改翼型曲线并改变翼型形状以获得较优升阻性能的翼型。此外,兼顾水轮机叶片强度设计要求等,对翼型面积S进行约束。

4.3 遗传算法优化命题

由于海底洋流的随机性,水轮机经常会在变工况条件下工作,因此为了能够保证水轮机叶轮翼型的变工况性,提高其效率,同时又能够尽量提高升阻比,选择在U=3.5 m/s,雷诺数Re=0.8×106,对攻角为1°(阻力系数小)、6°(升阻比最大)和13°(失速区)3种攻角工况下优化翼型升阻比。

以水轮机翼型升阻比作为优化目标,约束函数为外形面积约束,其优化命题可表述为

(15)

式中,F0(x)、F1(x)和F2(x)代表3种工况下的升阻比;x为控制顶点的纵坐标值;S′和S分别为初始翼型和优化后翼型截面积。

具体的优化流程如图6所示。

在进行多目标遗传算法优化时,种群数设置为50,进化代数为80,交叉概率设为0.8,变异概率设为0.1。结果显示,在进化到65代时求得最佳样本个体。

图6 翼型优化设计方案流程Fig.6 Flowchart of optimal design of turbine foil

5 结果及其分析

图7为优化前后的翼型曲线形状对比效果。通过对比可以发现,优化后的翼型前缘半径略有增大,上翼面较原始翼型也更加突出,随着弦长增大,优化后翼型尾缘处开始收缩。优化前后翼型升力系数、阻力系数以及升阻比对比如表1所示。由表1可知,优化后的翼型升力系数在3种攻角工况下均有所提高,阻力系数相比原始翼型均有所下降,优化后的翼型升阻比相比原始翼型在3种攻角工况下分别提高了3.93%、4.71%和17.31%,随着攻角增大,升阻比增加幅度越大。

图7 优化前后翼型形状对比Fig.7 Contrast of airfoils before and after optimization

表1 初始翼型和优化翼型升阻比对比Table 1 Contrast of lift-drag-ratio of original and optimized airfoils

翼型压力系数Cp(无量纲)能够反映翼型升阻力性能,其定义为

(16)

式中,pL为本地压强,Pa;p0为局部压强,Pa;v为远流场来速,m/s。

经过XFOIL计算后的优化翼型与原始翼型在不同攻角工况下的压力系数对比如图8所示。

由图8可以看出，在所设计攻角工况下，翼型前中段优化翼型压力系数相对于原始翼型明显降低，靠近翼型后端优化翼型压差幅度变化变小，翼型受力更加均匀。翼型下表面压力变化幅度相比较原始翼型变化微小。优化后的翼型上下翼型面压力系数差增大，进而提高优化翼型的升阻比。

图8 翼型表面压力系数分布对比Fig.8 Contrast of pressure coefficient of airfoil surface

从图8中还可以看出在攻角为1°和4°时,优化后的翼型压力系数最小峰值分别为-1.2和-1.5,相比较原始翼型压力系数峰值下降速度较快,因为翼型空化系数由翼型压力系数最小值决定,所以在这两个攻角工况下会对优化后的翼型空化性能带来一定的负面影响。从图8(c)中可知,当攻角为13°时,优化后翼型压力系数最小峰值为-3.5,其绝对值小于原始翼型,空化性能得到提升。

水轮机的水能利用系数即功率系数与水轮机叶片翼型性能密不可分。由贝兹理论可知，水平轴潮流能水轮机功率系数定义为

CP=P/(0.5ρSv3).

(17)

式中，ρ为海水密度，kg/m3;S为叶片扫略面积，m2;vc为海水流速，m/s;CP为叶片功率系数。

叶片功率系数受翼型本身参数和叶片安装角及弦长关系等因素影响，在安装角不变时，其与叶尖速比呈一定的函数关系。

潮流能发电水轮机的额定功率设定50 kW，叶片数设为3，功率系数为0.3，叶轮直径为7.3 m，海水流速为2 m/s，根据两种翼型分别建立水轮机叶片模型，用计算流体软件Fluent对其进行数值模拟，对比两种翼型下水轮机的获能性能。

将优化叶片与原始叶片沿展向分为10个截面,分别采用优化后的翼型与原始翼型按照参考文献[20]中的方法建立各个叶片截面弦长和扭角的关系如表2所示。

根据水轮机实际运行工况模拟采用两种翼型建立的叶片在不同桨距角下的功率系数如图9所示。

图9 原始和优化翼型功率系数Fig.9 Power coefficient of original and optimal blades

从图9可以看出，采用优化翼型后的水轮机与采用原始翼型的水轮机功率系数变化趋势一致，即保持桨距角不变时，随叶尖速比升高呈现先增大后减小趋势。当桨距角为3°时优化后的水轮机功率系数相比原始翼型提高了约3.9%，桨距角为6°时提高了约7%，当桨距角增大到10°时提高了6.4%。可以看出在3种不同桨距角下，采用优化翼型水轮机的功率系数均得到提高。

表2 水轮机叶片结构参数Table 2 Turbine blade structure parameters

6 结 论

(1)采用NURBS曲线对翼型曲线进行参数化拟合后的翼型曲线与原始翼型相比吻合精度较高,验证了该方法的可行性与高效性。

(2)优化后的翼型升阻比性能在多个攻角工况下均得到明显提升,提高了水轮机的适应性。随着攻角增大，优化后翼型相比较原始翼型上、下面压力系数差值逐渐增大，但最小压力系数绝对值相比原始翼型先增大后减小；采用优化翼型的水轮机在多个桨距角下水轮机的功率系数相比原始翼型水轮机有一定的提升，优化后的翼型对提高水轮机的效率是有效的。