遵循学生的数学思维规律教学——“等比数列（第1课时）”教学设计与思考

/钱淑华 查晓东

一、教材分析

1.教材的地位和作用。

“等比数列”是苏教版必修5第2章“数列”第3节中的知识，其主要内容包括等比数列的概念，等比中项和等比数列的通项公式，以及这三者的应用。这节课有着承上启下的作用，“承上”体现在承接了等差数列的相关知识和方法，“启下”体现在为等比数列的性质和前n项和的探究提供了方法和理论基础。

利用数列知识的特性，利用等比数列与等差数列内容和思想方法上的相似性，加强对数学规律的探究，提高学生的观察、分析、猜想、归纳、类比的综合思维能力，发展学生的逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养。

2.教材的处理。

为调动学生的探求欲望，激发学生的学习兴趣，从生活中的例子引入，结合学生自己的举例，让学生感受到数学源于生活。在与等差数列的类比中，通过教师由浅入深的问题设置，引导学生自主探究、合作交流、共享提升，完成等比数列的学习。另外，利用好教材上的例题和课后的练习，让其发挥更大的价值。在问题设置和例题变题中加深学生对等比数列概念及其通项公式的理解，初步掌握等比数列的常规解题思路和技巧。

二、学生认知水平分析

学生已经系统学习了等差数列的基础知识，具备了研究特殊数列的基本思路和方法。

对于数列中归纳的思想、方程的思想，在等差数列的学习中，学生已有体会。

三、基于核心素养的教学目标分析

知识目标：理解等比数列的概念，掌握等比中项的定义，掌握等比数列的通项公式及公式的推导方法，并会利用概念判断等比数列，利用通项公式解决等比数列的基本量的运算。

能力目标：培养学生的观察、分析、猜想、归纳、类比的综合思维能力，发展学生的逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养。

情意目标：通过本节课的学习感受数学的应用价值、文化价值和科学价值，激发学生的学习兴趣，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度；通过主动探究、合作学习、相互交流，培养学生互助合作的学习习惯，形成勇于探索的良好品质，增强数学的应用意识。

数学核心素养目标：见表1。

四、教法学法分析

归纳与类比的思想贯穿了本节课的始终。利用类比，联系等差数列的概念及通项公式的学习方法，设置问题串，引导学生自主探究、合作共享，充分发挥学生的主观能动性，突出学生的主体作用，体现教为主导、学为主体的教学思想。

五、重点与难点

重点：等比数列的概念及等比数列通项公式的推导。

难点：等比数列概念的形成和理解，通项公式的推导和证明。

六、教学过程

1.情境引入。

（1）用生活中的例子引入：《舌尖上的中国》第一季中，曾经介绍了一种主食——兰州拉面，你们吃过吗？见过拉面是怎么来的吗？从最初的1根，变成2根，4根，8根……如果你是拉面师傅，你能拉出几根？

（2）我们今天要研究的就是这个数列：1，2，4，8，16，32，……，512。

①这个数列，是我们前面学习的等差数列吗？

②这个数列是否有和等差数列相类似的特殊性？

③你能给这个数列起个名字，下个定义吗？怎么会想到起这个名字？

（设计意图：从生活中的实例引入，调动学生上课的热情，提高学生的课堂投入度。培养学生用数学的眼光看待生活，观察问题时善于从表象逐步过渡到本质，从具体抽象到一般（从生活到数学）；解决问题时善于将数学概念和定理具体化，用于认识并解决现实中的问题（从数学到生活）。通过对等差数列概念的回顾，通过新数列与等差数列的对比，引出本节课的主题。在给新数列起名这一环节，已经蕴含了类比的思想在里面。）

2.概念生成。

（1）引导学生类比等差数列的定义来描述，注重语言描述的规范性和严谨性。

（2）寻找生活中、以往学习中遇到的等比数列的例子，学生小组讨论、交流，班级分享，教师补充。

①教材上的例子：细胞分裂；一尺之棰，日取其半，万世不竭。

②生活中的例子：银行贷款利息支付问题，汽车折旧问题。

③其他例子：放射性元素的衰变问题；《九章算术》中“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”古代诗歌“远望巍峨塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？”

④小结：这些例子让我们真真切切地感受到：数学源于生活，并用于生活。

（3）比较等比数列和等差数列的定义，仅一字之差，变化在哪儿？引导学生思考这一字的变化对等比数列的项和公比提出的要求。

表1

（4）两个数列之间有不同，也有很多的相似。既然如此相似，请大家思考两个问题：我们可以用什么方法去研究等比数列？我们去研究等比数列的哪些内容？再次深化利用类比的方法，借助等差数列研究的内容和方法去研究等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和及应用。

（5）引出本节课的主要任务：等比数列的概念和通项公式。

（设计意图：通过小组讨论的形式，来分享本小组认为最有价值的例子，加深对等比数列概念的认识，同时培养学生合作探究、合作学习的能力。引导学生得到本节课的重要研究方法——类比，后续等比数列的研究内容和研究方法都可以类比等差数列进行。在两个数列概念的比较中，寻找两个数列的差异，归纳出等比数列的个性之处。）

3.概念深化。

（1）通过两个例题加深对概念的理解。

例1：判断下列数列是否为等比数列。若是，求出公比。

（设计意图：通过正反例题的辨析，让学生进一步理解定义中关键词的意义，深化学生对“等比”这一本质特征的认识。例题的第5小题，体现了由具体到抽象，由特殊到一般，再次强化了类比思想，培养学生的归纳能力、抽象概括能力。第5小题还有变式：an=3n+1还是等比数列吗？在对变式的讲解与分析中，教师可归纳总结“证明一个数列是等比数列”和“说明一个数列不是等比数列”的不同处理手段。）

（设计意图：通过练习，深化学生使用定义解决问题的意识，让学生深刻理解概念是解决问题的有力工具。在本题的讲解中，教师应引导学生思考：若a，G，b成等比数列，则G2=ab，反之成立吗？给出实数a，b，一定存在等比中项吗？满足什么条件才有等比中项？有几个？）

4.公式推导。

①你能写出该数列的第5项，第100项吗？在兰州拉面例子中的数列，你能写出它的通项公式吗？

②你是用哪些量来计算上述数列的第100项，刻画数列的通项公式的？

③你又是用什么方法得到通项公式的呢？

（设计意图：通过问题串的形式指出研究通项公式的合理性和必要性。引导学生类比等差数列通项公式的推导方法（累加法），类比得到累乘法。类比的思想在“累乘法”的引出时得到了进一步强化。在累乘法的推导中还要注意严谨性。）

例3：已知等比数列{an}的通项公式为an=3×2n，求首项 a1和公比 q。

例4：在等比数列{an}中，①已知 a1=3，q=-2，求 a6；②已知 a1=1，q=2，an=16，求 n；③已知 a3=20，a6=160，求 an。

（设计意图：例3的设置旨在从函数的角度来研究数列。函数思想是高中数学重要的思想之一，数列是一种特殊的函数，引导学生从函数的角度去认识数列、理解数列、灵活解题，为今后利用函数思想解决数列综合题作铺垫。例4的设置则是从方程的角度研究数列。方程的思想在等差数列的学习中已有涉及，此处的设计意在强化学生对比的认识。）

5.总结升华。

（1）回到一开始的两个问题：“我们可以用什么方法去研究等比数列？我们去研究等比数列的哪些内容？”你是不是有更深的认识了？请起来分享一下你的认识与收获。

（2）教师点评，小结。

知识层面，学习了等比数列的概念、通项公式以及延伸的相关知识。方法层面，体验了对具有相似性的两个问题，类比是一个很好的研究方法。方程的思想，归纳的思想在本节课中同学们已经深有体会了。等比数列的研究还没有结束，还有性质、前n项和等有待探讨。同学们可以课后自行去探索，看看能类比总结出等比数列的哪些性质。

6.学以致用。

（1）完成书上第 54 页的1，4，5，6，8，10，12题。

（2）一位科学家曾豪言：你如果能将一张纸对折38次，我就能顺着它爬上月球。请课后去算算（纸张厚度以0.07mm为标准），这位科学家为何敢夸下海口？

（3）利用身边的资源（老师、父母、网络、典籍等），去关注等比数列在生活中的应用。

（设计意图：作业的设置体现多样性，既有巩固课堂知识的练习题，也有课外探究题，以激发学生的数学学习兴趣。第3题的设置让学生感受数学源于生活，又应用于生活。）

【团队推荐】

“涵养基本素质，提升课堂品质”，这是2018年“杏坛杯”课堂教学展评活动的主题。围绕着这个主题，结合当下教育界呼吁提升学生数学核心素养的现实状况，钱淑华老师以参加此次活动的教学设计为依托，进行了一次数学核心素养视角下课堂教学设计的大胆尝试。

“涵养”一词言简意赅，而又韵味无穷，有滋润养育的意味，也就是说我们的课堂教学要将提升学生的数学核心素养渗透到教育教学的各个环节，需要我们有一种“润物细无声”的意识。钱淑华老师通过教材分析、学生学情的解读，结合本次活动的主题拟定的这份教学设计，充分体现了钱老师对新课标以及本次活动主题的认识和理解，笔者认为这是一份有高度、有深度且不乏细节的课堂教学设计。

情境引入，通过生活实际的有趣例子或者从数学知识内部产生的有趣问题引出课题，以此来激发学生的学习兴趣，这几乎成了近些年来各类公开课的必要环节。而实践表明，很多的情境设计生搬硬套的味道很重，因此一度有不少专家呼吁不如“开门见山”更自然一些。笔者认为，钱老师的情境引入从“兰州拉面”中抽象出等比数列的概念，不仅贴近学生的生活实际，体现数学源于生活，更让学生充分感受到数学不仅是有用的，同样也是有趣的，有效地调动了学生的求知欲，开场就给学生一种自然而然的亲近感，同时不知不觉间也让学生感受到学习本课的必要性。

小组讨论是很多公开课体现以学生为主体的主要方式，南京教科所左坤所长在本次数学赛场点评中提出了一个令人深思的问题：“我们的课堂教学经得起推敲吗？”这表明在课堂教学的具体实施过程中，能做到由表及里的情况并不多见。钱老师在概念生成部分的设置引导学生从生活实际中抽象出等比数列的实例，一方面有利于提升学生的数学抽象能力，同时让全班学生一起参与思考、交流，也锻炼了学生的表达能力和合作意识。此外，大量的实例也为概念最终的生成做好了充分的准备，这是从一般到特殊，最终又回到一般的过程。

数学概念或者是人类智慧的千锤百炼的结晶，或者是数学家的顿悟，其概括性、抽象性、严谨性是不言而喻。因此笔者以为，学生对概念的理解从来都不是一蹴而就的。钱老师在教学设计的概念深化部分，通过等比数列的判定，从正反两个方面让学生充分感受数学概念的严谨性，结合学生对等差数列的认识和理解，不仅让学生感受到等比数列作为数列的“共性”以及其特有的“个性”，同时渗透了对含有逻辑连接词的命题的否定的相关知识，为学生今后学习简易逻辑知识埋下伏笔。

类比和归纳是我们数学逻辑思维的两种最重要的途径：从等比数列的定义出发，类比等差数列的通项公式，通过推导等比数列通项公式，让学生理解an与基本量a1，q的关系，并充分体验类比思想在数学中的作用；通过等比数列指定项的探求来推测通项，这种从特殊到一般的思维过程也恰恰是华罗庚先生“退步解题”思想的体现。