一种改进的电离层反演投影矩阵生成算法

余龙飞，胡伍生

(东南大学交通学院测绘工程系,江苏 南京 210096)

当观测全球导航定位卫星获得的卫星信号穿越电离层，电离层中分布的电子会对电磁波传输产生影响，使得卫星信号产生弯曲现象，这种现象使得观测全球导航卫星已成为探测电离层的主要手段之一[1-2]。利用观测全球导航定位卫星探测电离层，可以建立区域甚至全球的电离层电子总含量的三维甚至四维空间的电离层模型[3]。其中像素基电离层层析模型是一种三维空间的电离层模型[4]，主要是将待反演区域离散化为一系列的像素网格，利用卫星信号射线在像素网格的投影矩阵，采用非迭代算法或迭代算法解算每个网格的电子密度，从而建立三维电子密度模型。由于计算过程相对简单，且计算结果精度较高，像素基电离层层析模型被广泛地应用于电离层电子密度的反演过程中[5-6]。

投影矩阵的获取是像素基电离层反演的关键步骤，也是其解算电离层电子密度的前提。本文针对传统方法在求解过程中的复杂性，以及不能得到唯一解的问题，通过分析卫星信号射线像素网格交点的向量关系，提出基于向量关系求解方法，不仅可降低解算的复杂程度，提高解求效率，更有利于编程数据处理。

1 传统投影矩阵生成算法[7-8]

投影矩阵生成算法的最关键步骤是卫星信号射线与三维像素的高度面、纬度面和经度面的交点。传统投影矩阵生成算法的交点计算如下：

如图1所示，已知卫星坐标S(XS，YS，ZS)，测站坐标G(XS,YS,ZS)，点P(x,y,z)是线段GS内的任意一点，可知卫星信号传播路径的直线方程为

(1)

图1 交点示意图

(1) 若高度面的高度为h，点Ph(xh,yh,zh)为高度面交点，则点Ph所在球面方程为

(2)

式中，R为地球半径。将式(1)和式(2)联立解算三元二次方程可获得点Ph坐标。

(2) 若纬度面的纬度为B，点Pb(xb,yb,zb)为纬度面交点，则点Pb所在圆锥面方程为

(3)

将式(1)和式(3)联立解算三元二次方程可获得点Pb坐标。

(3) 若经度面的经度为L,点Pl(xl，yl，zl)为经度面交点，则点Pl所在平面方程为

xltanL-yl=0

(4)

将式(1)和式(4)联立解算三元一次方程可获得点Pl坐标。

传统投影矩阵生成算法中，对于高度面交点的计算，根据卫星信号射线与圆球面相交的关系必有两个交点，即三元二次方程必有两组解；对于纬度面交点解算，根据卫星信号射线与圆锥面相交的关系必有两个交点，即三元二次方程必有两组解；对于经度面交点解算，根据正切函数性质方程必可获得两组解，即有两个交点。由于三元二次方程及正切函数性质，解算结果都存在两组解，还需要根据点必在线段GS内剔除另一个无效解。这种交点坐标计算采用代数方法，存在不仅解算过程烦琐复杂而且不能直接得到唯一解的问题。

2 改进的投影矩阵生成算法

针对传统投影矩阵生成代数算法存在的问题，改进的投影矩阵生成算法采用向量方法，利用向量关系可以简单有效地获得交点唯一解。已知卫星坐标S(XS，YS，ZS)、测站坐标G(XS，YS，ZS)，点P(x，y，z)是线段GS内的任意一点，由图1可知

(5)

式中，O为坐标原点；k为实数且0

(6)

式中，R为地球半径。将式(6)获得的kh代入式(5)可直接获得点Ph坐标。

图2 高度面交点示意图

(7)

(8)

图4 经度面交点示意图

3 分析与试验

为了验证新投影矩阵生成算法的高效性，进一步分析上述中向量方程。式(6)和式(7)简化为一元二次方程的形式为

ax2+bx+c=0

(9)

ax+b=0

(10)

采用实例进一步验证新投影矩阵生成算法的高效性和准确性。本文选取待反演区域的经纬度范围为：30°—35°N、116°—122°E，高度范围为100～1000 km。采用江苏CORS在2010年11月19日05:00—05:15UT时段的10个GNSS观测站接收GNSS信号，采样间隔为30 s，在这一时段内可用于电离层反演的有效卫星信号射线为228个。选取三维像素的尺度为1°×1°×50 km，总共540个像素组成待反演区域，高度面有19个，纬度面有6个，经度面有7个。卫星信号射线与高度面交点有4332个，与纬度面交点有523个，与经度面交点有895个。新投影矩阵生成算法需要计算5750次交点，传统投影矩阵生成算法需要计算11 500次交点。新投影矩阵生成算法交点的计算次数仅是传统投影矩阵生成算法的50%。除了计算交点之外，传统投影矩阵生成算法还需要判断11 500次这些交点是否在线段GS内。

对比传统投影矩阵生成算法，新投影矩阵生成算法在高度面和纬度面解算时，将三元二次方程简化为一元二次方程，降低了待求未知数的个数，从3个降低到1个，从而降低了解算难度，同时高度面交点获得唯一解，而纬度面交点根据二次未知数系数的正负直接解算唯一解，无需判断解算结果是否在线段内。在经度面解算时，将三元一次方程简化为一元一次方程，仅有唯一解，无需判断方程解所在象限。

4 结 语

传统投影矩阵生成算法时，解算方程组都会获得两组解，存在一倍的冗余计算，判断有效解严重影响了计算效率，而且解算过程烦琐。新投影矩阵生成算法采用向量关系计算三维像素各个面的交点，算法简单易懂，减少了待求参数的个数，降低了解算难度，同时获得唯一解。由于每次都能获取唯一解，相对于传统投影矩阵生成算法不存在冗余解，提高了一倍的效率，也没有经过判断点位位置就能直接有效地获得交点，也相对提高了计算效率。本文采用的实例也进一步验证了新投影矩阵生成算法的高效性和准确性，影矩阵生成效率得到大幅度的提升。