“鸡兔同笼”数学问题的教学建议——基于各版教材编排差异的比较分析

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的古算题，最早出现在公元4～5世纪的《孙子算经》，随着历史的发展，“鸡兔同笼”从问题的叙述到算法都经历了不同形式的变化，但它一直是人们喜闻乐见的趣题，蕴含着丰富的教育价值。国内外学者对此问题也非常重视，如首都师范大学郜舒竹教授对《孙子算经》、《算法统宗》以及《镜花缘》中出现的“鸡兔同笼”问题的各种算法进行了梳理，并探讨了产生这些算法的思想基础。美国数学教育家波利亚在介绍“鸡兔同笼”问题时写道：“下面这道智力测验题……”以此问题考察人们的智力水平。

自新课程改革以来，我国不同版本的小学数学教材都把“鸡兔同笼”问题纳入其中，充分发挥其强大的教育功能。那么各版本教材又是如何编排的呢？下面是笔者对新人教版（2014年）、旧人教版（2009年）、张天孝主编的浙教版（2014年）、苏教版（2014年）、北师大版（2014年）、青岛版（2015年）、沪教版（2015年）[1]沪教版为五年制教材。这七个版本教材进行的差异比较和分析，以期为优化“鸡兔同笼”的数学教学提供可行的建议。

一、教学内容的编排顺序存在明显差异

从教材的编排顺序上看，《鸡兔同笼》这一教学内容被安排到了不同年级进行教学。从表1中可以看出，该内容所涉及的教学对象，年级最低的是二年级学生，最高的是六年级学生，年级跨度较大。究其原因，编排顺序的差异或与编者想渗透的解决方法相关。

表1 各版本教材编排册次分布情况

二、例题所渗透的解决方法呈现多样性

各版本教材例题中所渗透的解决方法呈现出多样性，如表2。

表2 各版本教材例题所渗透的解决方法

第一，不同版本教材的例题所要渗透的解决方法并不完全一致，呈现多样性。如“列表法”“画图法”“假设法”“列方程”等。第二，“列方程”只出现在旧人教版教材的例题中，其他版本教材的例题都没有出现此方法。第三，画图法、列表法、假设法互为结合补充，方法之间互相转化，有助于帮助学生理解并解决问题。如苏教版教材在渗透了“画图法与列表法”之后，继而总结两种方法的异同，引导学生积极主动地沟通两种方法之间的联系，从而找到解决问题的最优方案。第四，“列表法”成为唯一相同的解决方法。虽然各版教材例题所要渗透的解决方法多种多样，但列表法却是各版教材所共同采用的解决方法。第五，虽同为“列表法”，实则各有侧重。如新人教版偏重“一一枚举”列表方法，浙教版重于“折半枚举”列表方法，北师大版则呈现“一一枚举”列表方法、“中间跳跃枚举”列表法和“折半枚举”列表法三种解决问题的列表方法。

三、解决方法存在显著差异的缘由

为什么会导致各个版本在解决方法上存在这么多差异呢？把表1和表2合并为表3，个中缘由可见一斑。

表3 各版本教材编排册数分布情况及解决方法

1.不同年级，面对不同的教学对象，所要渗透的解决方法不同。

例如“列方程”，在旧人教版教材中，《鸡兔同笼》的教学内容被安排在了六上，教学对象为六年级学生，学生在五年级已经熟练掌握了列方程解决问题的方法，因此在渗透了“列表法”“假设法”之后，教师可以顺势引导学生用“列方程”的方法解决问题，这样会更符合学生的认知和学习规律。但新人教版教材中，就没有“列方程”的方法，因为“鸡兔同笼”的教学内容被安排到四下进行教学，教学对象为四年级学生，不具备“列方程”解决问题的能力，因此在教材中删除了这一方法。

2.同个年级，面对不同的单元目标，所要渗透的解决方法不同。

同样面对六年级学生，“苏教版”和“青岛版”没有在例题中渗透“列方程”的方法。究其原因，主要由于这两个版本教材的单元教学目标存在差异。在苏教版教材中，该单元的教学目标有三个：第一，学生在解决实际问题中初步学会运用假设的策略、分析数量关系、确定解题思路，并有效地解决问题。第二，学生在解决实际问题过程中不断反思，感受假设的策略对解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和简单的推理能力。第三，学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验，提高其学好数学的信心。画图法和列表法更容易获得直观的感受，有助于实现教学目标。青岛版的教学目标则为“智慧广场”的内容，结合生活情境，在运用一一列举策略解决问题的过程中，发现规律并学会运用假设的策略解决问题，建立数学模型，用列表法和假设法更能实现这一目标。

四、针对不同水平层次的教学建议

对比分析这七个版本的教材后发现：“鸡兔同笼”这道古算题适合于小学阶段的任何一个年级，但教师在教学时，不能“一刀切”地使用同一种教学方式，而应该根据学生的具体学情，设计相应的教学方案。为此，笔者将1～6年级的教学对象，划分为三个水平层次，并给出相应的教学建议。

1.画图感知思想方法，积累数学活动经验。

教学对象：第一水平（一、二年级学生）

教师可引导学生分层解决问题。问题1：鸡和兔一起圈在一笼子里，其中有1只鸡，2只兔。一共有几个头？一共有几条腿？比较容易接受和理解的方法为：

（1）画图法：

（图 1）

（2）列式法：

头：1+2=3（个） 脚：2+4+4=10（条）

问题2：鸡和兔一起圈在一笼子里，从上面数有5个头，从下面数有16条腿。鸡、兔各有几只？针对这一问题，教师可以引导学生思考：问题1与问题2有什么不同？并进一步启发：问题1中知道鸡和兔的只数，求头的个数和腿的条数；问题2中知道头的个数和腿的条数，求鸡和兔的只数。最后提出用画图法解决这个问题。

方法1

第一步，假设5个头都是鸡，那么腿就画10条，还剩下6条腿，画出如图2；第二步，把剩下的6条腿添加到鸡，每只鸡添加2条，刚好添3次，得到4条腿的有3只，也就是兔有3只，另外2只就是鸡，结果如图3。

（图 2）

（图 3）

方法2

第一步，假设5个头都是兔，那么腿就画了20条，20-16=4，多了4条腿，如图 4；第二步，把多的4条腿删除，每个头删除2条腿，刚好删2次，得到2条腿的有2只，也就是鸡有2只，另外3只就是兔，如图5。

（图 4）

（图 5）

2.列表法与假设法相整合，建立数学模型。

教学对象：第二水平（三、四年级学生）

教学建议：列表法、假设法

教学时，教师应精选例题，例如：鸡兔同笼，有 8个头，26条腿，鸡、兔各有几只？然后引导学生分别用列表法和假设法解决问题。

（1）列表法：先算有8只鸡，这样一共就有16条腿，显然不对，再减去一只鸡，加上一个兔，这样一个一个地试，把结果列成表格，最后得出3只鸡、5只兔。

（2）假设法：

方法1 假设8只都是鸡，腿：8×2=16（条），少的腿：26-16=10（条）

方法2 假设8只都是兔，腿：8×4=32（条），多的腿：32-26=6（条）

沟通列表法与假设法的联系，借助画图进行理解，发现假设法与列表法的思路其实是相通的。列表法中的第一种情况：8只鸡，0只兔，就是假设“笼子里全是鸡”的情况。“假设8只全是鸡，就有几条腿”与问题中的“与26条相比少了几条腿”分别可以用算式来表示：8×2=16（条），26-16=10（条）。继续思考：少的 10条腿，应该添给几只鸡？为什么？这一过程也可以用算式来表示：4-2=2（条），10÷2=5（条）。教师可以利用画图法帮助学生理解。也可以用列表法帮学生分析，在此基础上列出式子，用数学语言表达思想。

3.列表法与代数法相整合，初步感知代数思想。

教学对象：第三水平（五、六年级学生）

教学建议：列表法、代数法（列方程解决）

在列表法的表格中，假设兔子的只数为x只，追问：那么鸡的只数应该怎么表示呢？受表格数据的影响，学生很容易想到应该用（8-x）只表示。然后根据表格所提供的数量关系：鸡的总腿数+兔的总腿数=鸡和兔的总腿数，用列方程的方式为 4x+2（8-x）=26，进而计算得到方程的解：x=5。同样，也可以假设鸡的只数为x只，那么兔子的只数就是（8-x）只，根据数量关系列出方程并解方程，得出答案。列表法较为直观，能有效地帮助学生明确数量关系，在理解的基础上顺利列出方程，从而解决问题。