赏析以数列为载体的六种创新题型

■四川省资阳市外国语实验学校 蔡勇全

近年来，以数列为载体的创新型试题频繁地出现在全国各地的高考试卷中，它们或内容立意新，或情境设置新，或设问方式新，或题型结构新，不仅较好地考查了同学们的创新意识、创造性思维能力，以及数学运算、逻辑推理、数学建模等素养，而且有效地甄别了同学们进入高等院校继续学习的潜能。本文结合实例谈一谈以数列为载体的六种创新题型及其求解策略，供读者赏析与参考。

一、数学文化型

传统数学文化源远流长，是人类社会宝贵的知识与精神财富，需要人们大力弘扬与传承，只有这样，它本身所具有的价值才能得以释放，数学文化型数列创新题正是在这种朴素理念的支撑下诞生的新题型，它以现实事件或历史上一些数学名著中的某一段素材为背景，在基本不改变原意的前提下，巧妙地引出其中蕴含的数列问题，要求解题者求出该问题的结论，体现了数学的人文价值和科学价值。

例1《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积之和为3

L，下面三节的容积之和为4L，求中间两节的容积各为多少”。那么，该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )。

解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有:

因为a2+a3=a1+a4，a7+a9=2a8，所

评注:一般来说，数学文化型数列创新题的难度适中，命题者会将晦涩难懂的古文译作通俗易懂的现代文，解题者不必心生畏惧，只需在准确理解现代译文的基础上，构建相应的数列模型，运用数列知识解出需要的数据，最后再回归实际问题即可获解。

二、交汇整合型

交汇整合型数列创新题的基本特点是:形式多样，内涵丰富，交汇点多。常常和函数、方程、不等式、三角、复数、概率与统计、解析几何等知识融为一体，能够很好地实现学科内、学科间知识的交汇整合。

令g(x)=2x+sinx，易知g(x)为奇函数。因为g'(x)=2+cosx＞0对任意x∈R恒成立，所以g(x)在R上单调递增。再构造数列{bn}，且bn=an-，易知bn为等差数列，则①式即为(2b1+sinb1)+(2b2+sinb2)+…+(2b5+sinb5)=g(b1)+g(b2)+…+g(b5)=0，结合函数g(x)图像

评注:同学们在掌握基础知识和基本数学思想方法的时候，要着力提高自己的创新思维能力。认真研究、探索数列知识网络的交汇性，研究交汇点向外辐射的知识板块，是提高分析和解决创新型问题能力的最佳途径。

三、规律发现型

规律发现型数列创新题的基本特点是:题目中已经给出某种数列的若干特殊数据或性质特征，提出的要求一般是归纳出该数列的规律、完善该数列的相应性质、类比推广到相关数列等。

例3在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就1个乒乓球，第2，3，4，…，n堆底层(第1层)分别按图1所示的方式固定摆放，从第2层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放1个乒乓球，则第n堆的乒乓球总数f(n)=。

图1

评注:解决规律发现型数列创新题需要同学们具有较强的观察能力和快速探求规律的能力，因此平时应注重这方面的训练和经验的积累。

四、数表(阵、组)型

数表(阵、组)型数列创新题的基本特点是:将一些数排成长方形、三角形、数组的形式，就形成了数表、数阵等形式，要求考生研究某行、某列、某组或所有行(列、组)具有的特殊性质。

例4在n行m列的方格表中，每一个方格都填上一个数，使得每一行的m个数与每一列的n个数都成等差数列，如果表的四个角上的数之和等于S，则此表中所有数的和等于____。

表1

评注:求解此类问题的策略:通过观察、分析，弄清楚数表(阵)中各行(列)的数与各列(行)的数之间的对应关系或所有数组中的数的总体趋势，然后再转化成熟悉的等差或等比数列问题求解。

五、逆向探索型

逆向探索型数列创新题的基本特点是:可能题设中已经给出了具有某种特征的数列，要求寻找这一特征产生的条件，也可能是将数列是否具有某种特征作为一个待定的问题，要求分析数列具有该特征的条件和不具有该特征的原因。

例5 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+5n，数列{bn}中，b1=8，6 4bn+1-bn=0。问:是否存在常数c，使得对任意的正整数n，都有an+logcbn恒为常数m?若存在，求出常数c和m的值;若不存在，请说明理由。

评注:此类问题主要考查同学们的逆向思维能力，解题策略是从数列已经具有的某一特征出发进行逆向性的逻辑推理，或假设数列具有某种特征，再进行逆向性的演绎推理，若出现矛盾，则可否定假设;若推证无矛盾，则假设成立。

六、类比联想型

类比联想型数列创新题的基本特点是:题目中给出某种特殊数列的属性，要求解答者根据所给信息与另一种特殊数列的相似性或一致性，进而写出类似的结论，这里的属性可以是问题的结论、分析思路、解题方法等。

例 6 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列;a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列;a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0)。

(1)若a20=40，求d。

(2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围。

(3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，以此类推，把已知数列推广为无穷数列，类比第(2)问，你能提出什么样的问题?还能得到什么样的结论?

解析：(1)a10=1+9=10，a20=10+10d=40，所以d=3。

(2)a30=a20+10d2=a10+10d+10d2=10+10d+10d2=10(1+d+d2)=+∞)时，a30∈[7.5，+∞)。

(3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10(n+1)是公差为dn的等差数列，类比第(2)问，研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式，并求a10(n+1)的取值范围。

研究的结论可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3)，以此类推可得，a10(n+1)=10(1+d+d2+…+dn)=取值范围为(10，+∞)。

评注:解决此类问题的策略概括起来就是引申、推广、迁移、移植等几个关键词，但需要注意的是，由此得到的一般性结论可能真，也可能假，结论的正确性有待进一步证明。