灵活运用知识多种思路解题

2018-11-20 10:50李金莲
世界家苑 2018年11期
关键词:柯西证法对称性

数学题浩如烟海,我们不可能把所有题都做到,与其做很多题,不如把一道题做透,用多种不同的方法解决同一道题,对解题者的思维锻炼效果极佳。下面针对一道不等式问题采用多种不同的方法加以证明,与大家共享。

题目:设a,b,c都是正数,求证: .

证法一:(比较法)

左边 右边= ]

所以原不等式成立.

评注:只需要证明左边 右边 .

证法二:(综合法)

由基本不等式得: ) c,

) a, ) b

三式相加得: . 故原不等式成立.

评注:利用均值不等式 (a>0,b>0)证明.

证法三:(利用柯西不等式证明)

=

两边开方得: . 故原不等式成立.

评注:柯西不等式是经典不等式,其基本形式为:

本题中将待证的不等式左边配方,使之成为柯西不等式的形式,再加以证明.

证法四:(利用排序不等式证明)

式中a,b,c轮换对称,不妨设a ,则有

a , ,由排序不等式得:

a (顺序和) (乱序和)

化简得: . 故原不等式成立.

评注:排序不等式也是经典不等式,它具有明确的大小顺序(或者大小顺序不明确但具有轮换对称性),且字母个数相同的两列数,在考虑它们对应项乘积之和的大小关系时经常使用,证本题的关键是:发现a,b,c具有轮换对称性,并构造出两列具有明确大小关系的式子,再依据“反序和 乱序和 ”证明.

作者简介

李金莲,女,生于1980年,于2004年毕业于西北师范大学数学系,2008年取得教育硕士学位,现在古浪一中担任数学教学工作,中学一级教师。

(作者單位:甘肃省古浪县第一中学)

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