俄罗斯再版基谢廖夫几何教科书给我们的启示

倪 明 任念兵

(华东师范大学出版社 200062) (华东师范大学第二附属中学 201203)

这些年，在俄罗斯的书店里，一直有一本初版于1892年、有125年历史的几何教科书．这本书的最新一次的再版(如图所示)，由莫斯科的“ФИЗМАТЛИТ”于2015年出版．俄罗斯教育科学院通讯院士、莫斯科大学师范教育系主任罗左夫(Н. Розов)教授在前言中有一个介绍．他用“几何学——欧几里得与基谢廖夫”作为前言标题，在前言中指出，在基谢廖夫诞辰150周年时，俄罗斯科学和教育学会专门进行了纪念活动，并在基谢廖夫的出生地奥廖尔省塑了像，在奥廖尔大学建造了俄罗斯中学教科书陈列馆[1]．由此可见，基谢廖夫在俄罗斯的地位，对教科书的贡献．

一本几何教科书，从初版至今，已经隔了那么久了，为什么还要再版呢？这个问题，也许很值得我们思考．

1 基谢廖夫其人

对我国现在在岗的数学教师来说，基谢廖夫这个名字是很陌生的．他的全名是安德列·彼得洛维奇·基谢廖夫(Андрей Петрович Киселёв，1852—1940)．基谢廖夫，1852年12月12日生于奥廖尔省．他家境贫苦，中学毕业之后，他依靠当家庭教师及变卖在中学读书获得的金质奖章的收入赴彼得堡去深造．他考入彼得堡大学数学物理系后，受教于许多著名数学教授，比如：切比雪夫(П.Л.Чебышёв)、科尔金(А.Н.Коркин)、索莫夫(О.Н.Сомов)、索霍茨基(Ю.В.Сохоцкий)、左洛达列夫(Е.Н.Золотарев)等．也听过化学大家门捷列夫(Д.И.Менделеев)的讲课．在大学一、二年级时，他仍兼做家教，以维持他的学习与生活．[2]

基谢廖夫有一套独特的学习方法，只花了三年半的时间就学完了大学所有的课程，并取得副博士学位．作为名牌大学的优秀毕业生，他并没有在大学或研究所从事数学的教学和科研，而是来到沃龙涅什实业学校，担任数学、力学和制图等课程的教师，同时进行学科教学法的研究．

基谢廖夫积极参加沃龙涅什的各项进步的社会活动，花了不少的时间为公众做天文学和物理学方面的科普讲座．1892年，他的一个《用光谱分析方法研究太阳和其他天体的组织》的报告引起很大反响，当地的日报上曾有详细报道．基谢廖夫由此而出名，但激怒了他的顶头上司．他资助贫困学生，并组织一些集体活动，被认为是政治上的可疑人物，他的上司决定调他去库尔斯克市．基谢廖夫坚持留在已经工作了15年的沃龙涅什，没有服从调动．不过，他也无法继续呆在教育部门下属的学校了，只能转到军事部门主管的沃龙涅什中等武备学校，担任数学和物理两科的教师．20世纪第二年，基谢廖夫只能离开工作了25年的沃龙涅什市，停止了教学工作．就在这个时候，他作出了这样的决定，把自己的全部精力投入到数学教科书的编写中去．[2]

在基谢廖夫的一生中，最重要、最有影响的工作是数学教科书的编写和修订．“他是中学数学三个分支——算术、代数、几何非常成功的教科书作者(史无前例)．”[1]《中学算术教程》是基谢廖夫的处女作，出版于1884年，数学教育家波普鲁任科(М. Г. Попруженко)给予很高的评价，并作了推荐．四年后，即1888年，他的第二部著作《初等代数》第一卷出版，时隔半年第二卷出版．1892年，这位沃龙涅什中等武备学校的数学兼物理教师准备新作——《初等几何》．之后，他出版的教科书与教学读物还有：《代数补充讲义》(实业学校七年级课本，1893)、《城市中学算术简明课本》(1895)、《女子中学和其他学校适用的代数简明课本》(1896)、《中学基础物理》(1902)、《导数初级教程》(1908)、《初等代数研究中的某些函数图象》(1913)、《通常用极限来解决的初等几何问题》(1916)、《代数与分析初步》(1925)、《初等代数习题集》(1929)．

由于基谢廖夫在教科书的编纂方面作出了杰出的贡献，1933年12月26日，苏联中央执行委员会主席团作出决议：“安德利·彼得洛维奇·基谢廖夫是最年老的数学教师和教科书的著作者，他所著的教科书在数十年期间一直是俄罗斯学校的主要课本．为了奖励他富有成果的教育活动，授予他劳动红旗勋章．”[2]这个荣誉，相对于我国的“全国劳动模范”称号．

2 基谢廖夫的几何教科书

在基谢廖夫所编写的教科书中，影响最大的要数《初等几何》教科书．它初版于1892年，之后两三年更新一次，常修常新．1927年，修订后的《初等几何》，明显地改变了它的风格，补充了几何基础方面最新的数学观点，引入了投影作图的原理．在简短的叙述中给出了圆锥曲线的知识．在连续性公理的基础上对圆周长和面积作了新的解释．在立体几何中编入了卡瓦列里定理，几何习题中补充了应用的内容．到1930年，已经有40版，直到1960年，它一直是学校最基本的几何教科书，1976年的毕业生是使用基谢廖夫几何教科书的最后一届．[3]

一本教科书，有如此长的生命力，它究竟有何特点呢？作者在自己的陈述中介绍，教科书努力做到：(1)数学概念定理的正确性；(2)讨论简单；(3)叙述简明扼要；(4)在处理内容的一般与特殊、具体与抽象上做到恰如其分，不多不少；(5)成功地安排了整个内容，配有相应的插图，在书中加了一些着重线，并标有音调和重音，使得书面语言接近于口头语言．

切尔尼亚什娃(Л.Ю.Черняшева)等的《苏联的几何教学》中这样评价基谢廖夫及其他的几何教科书：“基谢廖夫的几何教科书的特点在于，就他所处的时代而言，它的内容描述就有较高的科学水平，它的结构完美而有条理，这保证了对这个课程的完好理解．当然，这个特点是由作者的个人品质所决定的．基谢廖夫具有当时的最新的数学知识，并且他始终关注着新的数学思想和新的教育思想．他的孜孜不倦的工作能力是同他作为一个学校数学教师的广泛经验分不开的．基谢廖夫从不拒绝新的趋势．这样，随着时间的推移，他几乎在他的书中利用了随后的全部革新成果(严格的和半严格的公理体系，运用几何变换作为证明定理的主要工具，代数的不同形式的使用，等等)．结果，他的几何课程体现并成为其后所有著作的标准和不变的参考点．”[3]

我国在上世纪50年代，曾全面学习苏联，教育更是如此．教育思想主要是学习凯洛夫的理论，学校教育方面涉及到课程体系、教科书等．早在1949年，东北人民政府教育部已陆续编译了基谢廖夫《算术》、《代数》、《平面几何》等教材，1950年起东北各地开始试用．1952年，经中央人民政府教育部指定，基谢廖夫教材的东北译本在全国范围内使用．

人民教育出版社在《平面几何》的(见上图)“出版者的话”中评价：“苏联教科书的优点是内容精简，理论与实际结合，教材的排列能兼顾科学的体系与教学的原则．东北各地试用过这一套编译的课本以后，凡能体会这些优点的教师，教学上都有很好的成绩．”不过，这本编译本只是俄文版的部分内容，只有直线和圆两个部分(差不多是原书的一半)．

在20世纪初年，国际上最有影响力的数学教育家是F.克莱因，他也是首届国际数学教育委员会主席，著名的几何学家．他关于数学教育改革的观点尤其有影响力．克莱因强调用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，用变换的观点改造传统的几何内容．这些主张，在基谢廖夫的教科书中得以实现，说明基谢廖夫的教科书体现了先进的教育思想，体现了教育改革的潮流．

由于国际上“新数运动”的影响，苏联学制的调整，使得基谢廖夫的教科书有明显的不适应．取而代之的是科学院院士柯尔莫戈罗夫(А. Н. Колмогоров)和波哥列洛夫(А. В. Погорелов)的两套几何教科书．前者是一位杰出的苏联数学家、改革者，在他的领导下，苏联建立了一套基于几何变换的全新的课程体系．由于改革力度过大，难度过高，这套课程体系使用时间不长．后者的工作以基谢廖夫的传统课程为起点，在更高层次上加以严格与完善，曾于1988年在全苏普通中学数学教科书评比中获奖，成为上世纪80年代以后最畅销的几何教科书．俄罗斯联邦教育与科学部2007年1月11日公布的法令中，7-9年级推荐的几何教科书共有4种，10-11年级推荐的基础水平和数学专门化水平合用的几何学教科书也有4种，波哥列洛夫的几何教科书均在其中，是使用面较广的一种．从莫斯科教育出版社网站上可以看到，波哥列洛夫的几何教科书还在使用．

3 基谢廖夫几何教科书给我们的启示

新课程改革后，初中平面几何的内容分散于各个年级的教材中，知识体系显得“支离破碎”，其中所蕴藏的思想和方法体系就不易凸显出来.用于培养逻辑推理能力的平面几何内容，要以精简实用为原则，兼顾学生的学习可能性、后续学习的必要性．基谢廖夫的几何教科书对我们的平面几何教材体系的继承与发展有很多启示.

基谢廖夫的几何教科书是对传统的欧几里得几何的系统介绍．在平面几何部分，它首先对一些最简单的几何物体加以描述，然后对这些物体的性质给予比较清楚的定义.通过一个直观上容易理解的迭合操作，三角形全等的概念被建立了，并为进一步的研究奠基，三角形的全等被用作课程初始阶段证明定理的主要工具.接下来，介绍了三角形、平行线、四边形、圆、相似、三角学初步、正多边形，最后是面积等度量.

借鉴基谢廖夫的几何教科书编写思路，在平面几何教材编写中首要的原则应该是内容的完整性，比如三角形的内容要包括全等、相似、等腰三角形和直角三角形等，定性性质、定量关系等.在不增加学生学习负担的要求下，我们必须要对平面几何内容删繁就简、突出综合几何的数学味道，系统地梳理相应的教材内容.

3.1 宏观上把握核心问题

要想在平面几何教学中发挥数学的内在力量，就需要以“大观点”来重新梳理平面几何知识内容，围绕着某个逻辑主线来组织数学课程和教材.基谢廖夫的几何教科书以三角形全等作为证明定理的主要工具，项武义先生曾提出以等腰三角形作为平面几何教材编写的切入点，这是因为：宏观上看，定性平面几何所要研究的主题是“全等形”和“平行性”.在本质上，前者是平面对于任给直线的反射对称性的具体反映，而后者则是三角形的内角和恒等于平角所表达的“平直性”.[5]也就是说，“平直性”和“对称性”是平面几何研究的两大核心问题.

当我们梳理初中数学教材中平面几何部分的内容时，不难发现“相交线与平行线”、“全等三角形”、“轴对称”三章即是对这两大核心问题的具体研究.也正是基于平直性与对称性在几何研究中的地位，无论是初中平面几何还是高中的平面解析几何和立体几何都“不厌其烦”地讨论以平直性和对称性为背景的问题，比如“将军饮马”问题这个初中平面几何中“老调”，在高中解析几何中会以各种变式的形式“重弹”.

在平面几何教学实施中，从宏观上立足于核心问题(平直性、对称性)把握数学研究的逻辑主线，可以避免纠缠于“细枝末节”，帮助学生掌握问题的核心，从而提高数学教学的效率.在平面几何教材编写中，要始终突出“平直性”和“对称性”的核心地位，无论是章节的设置还是例习题的配备，都要贯穿这条逻辑主线.

3.2 中观上把握研究套路

傅种孙先生提出几何课程的根本目标是“何由以知其所以然”，并提出“以方法为经，以教材为纬”，进而“启发学者，示以思维之道”的教材编写思路，正是几何教材改革的基本指导思想.[6]

平面几何的总体思路是：先要把物体抽象成几何基本概念和基本性质，再用归纳推理、演绎推理达到对几何性质的有效掌握，然后用这些概念和性质解决各种问题.基谢廖夫的几何教科书很注重内容的完整性，三角形、四边形、圆等都按照某个总体思路进行了系统地研究.

精简平面几何内容，可以在中观层面上引导学生以数学概念的发生发展过程为载体，经历完整的数学思考过程，从而掌握研究一个新的数学对象的“基本套路”，具体包括：明确研究的问题，获得研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，建构研究的过程，获得研究结论等等．[7]也就是说，在抽象几何概念、研究几何性质时，要加强数学基本思想的引领、基本活动经验的积累，并要把归纳几何要素、发现几何关系、提出几何性质等作为几何教学的关键任务．[8]

课程改革教材精简后的平面几何，主要学习三角形、四边形、圆等基本图形，其中，三角形和圆是两个最重要的研究对象.

比如“三角形”的知识分散于现有平面几何教材的“三角形”、“全等三角形”、“轴对称”、“勾股定理”、“相似”等章节中，在教材编写中可以整合成三角形研究的基本套路：

(1)获得研究对象：定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形分类．

(2)研究基本性质：得到“两边之和大于第三边”，“内角和等于180°”，“大角对大边”，等，即研究三角形的要素之间的关系.

(3)研究相关性质：诸如“外角等于不相邻两内角之和”，“三条中线(高、角平分线)交于一点”等，即研究高、中线、角平分线、外角等相关要素及其关系.

(4)研究特殊三角形：等腰三角形、直角三角形的性质与判定．

(5)研究两个三角形的关系：三角形的全等、相似．

这种按“背景——定义、表示——划分(以要素为标准)——性质(要素、相关要素的相互关系)——特例(性质和判定)——联系(应用)”的路径，从定性(相等、不等、对称性等)到定量(面积、勾股定理、相似、解三角形等)的研究套路，体现了系统思维方式的结构性，因而在数学研究中具有普适性.

虽然在面对具体对象时，研究的过程略有不同，但研究的方法和思路是大致相同的，掌握了研究数学对象的基本套路，就能对零散的数学内容形成完整的结构性认识，做到“心中有数”“成竹在胸”.

3.3 微观上把握知识本质

在平面几何教材的编写中，微观上要处理好知识本质的凸显和知识之间的联系.

基谢廖夫的几何教科书在具体问题的本质把握上相当到位，要言不烦.比如“三角形中的内角和”问题，书中最后总结了问题的本质是“多边形的外角和为360°”.这些细节是值得借鉴的.又如，综合几何的特点是，除了尺规而不借助其他工具，通过演绎推理得出结论，因此尺规作图在描述“运动”、直观“操作”、问题证明等方面具有不可替代的价值.基谢廖夫的几何教科书特别注重尺规作图，无独有偶，著名数学家波利亚在其名著《数学的发现》开篇章节就介绍尺规作图，这也从一个侧面说明了尺规作图在平面几何研究中的重要性.

另外，在平面几何教材编写中，如何凸显初高中衔接也是需要关注的问题.在2017版高中数学课程标准中，不再有平面几何选修课程，因此平面几何的教学任务全落在初中学段.然而，高中应用平面几何的地方颇多，需要有抓手(关键点)来处理知识(或方法)的衔接问题.比如平面向量的加法反映的是平行四边形的性质，三角恒等式反映了圆的对称性：诱导公式、和差化积公式等反映的是圆的反射对称性，和(差)角公式则反映了圆的旋转对称性.[5]

本文讨论的是基于苏俄传统的教科书．教科书本身在不断发展、不断进步，这是不争的事实．我们在编写教科书的过程中，在考虑学科发展、时代变化的同时，应该更好地能把握好学科本身的特点、学科固有的特性是特别重要的．也许这样，我们的教科书改革会少一些反复．

在与罗左夫教授的交流中得知，俄罗斯课程标准的制定是基于当前学校教学的实际，尤其是与现行教科书的吻合，也就是说，制定了新课标之后，现成的教科书照样可以使用．好比是，我们在做城市规划的时候，应当要考虑现有建筑物的存在．因此，目前俄罗斯联邦教育与科学部发布的许可使用和推荐使用的教科书中，不少还是苏联时期的获奖教科书．

此外，老早的基谢廖夫、之后波哥列洛夫和沙雷金(И. Ф. Шарыгин)和现在的巴什马科夫(М. И. Башмаков)等都是教科书的独立作者，而在我国，现在很少看到有独立编著教科书的．编写团队的组织方式，孰好孰坏，我们也可以想想．

本文成稿之际，2018年IMO比赛结果出炉，我国六位参赛选手再一次因为几何上的差距无缘总分第一．中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会的吴建平先生认为“如果把一个国家中学生的数学整体水平看作一座山的话，那么这六位选手应该处在接近山顶的位置，它会反映出山体的情形．如果整个山体降低了高度，山顶自然也不那么高了！”决定中国学生学业水平的关键是课程，在IMO竞赛中美国以前在几何方面远远不如我们，而随着我国初中平面几何课程拼命降低难度、几何课程体系被肢解得支离破碎，人家反而加大力度，我们被别人超过也就在情理之中了．比较中俄两国选手在IMO几何题上的得分情况，也许是可以比较的一件有意义的事情．在1992-2018年这26年中，如果分成前13年和后13年，那么这个划分接近于我们的课改前和课改后．前13年，中国队的几何成绩总得分为781分，比俄罗斯高出54分；后13年，中国队的几何成绩总得分为742分，比俄罗斯只高出21分．将各自的几何成绩相对于总成绩的占比，前13年中国队平均比俄罗斯只低0.49%；而后13年中国队平均比俄罗斯要低2.42%．可以说，几何在数学中的位置，我国相对于俄罗斯来说，差距有拉大的体现．

也许我们的中学几何课程真的需要深入研究，到了再次借鉴他国经验、取长补短的时候.