转换问题视角 有效培育“四能”——以微专题“一个三角形面积问题的激活与串讲”为例

吴 锷

(苏州市教育科学研究院215004 )

伴随《中国学生发展核心素养》的发布，培养“全面发展的人”成为教育教学改革的行动纲领和终极目标．《普通高中数学课程标准(2017年版)》将高中数学核心素养明确定义为：具有数学基本特征的、适应个人终身发展需要的人的思维品质与关键能力，数学抽象、逻辑推理、数学模型、直观想象、数学运算和数据分析被确认为高中学生的六大数学核心素养．数学教育从关注“基础知识”、“基本技能”和“基本思想方法”的“三基”，已经走向了 “四基”，我们开始重视学生学习数学的“基本活动经验积累”；从关注提升学生数学学习中的“分析问题和解决问题能力”的“两能”，我们开始重视培养学生具有“发现问题和解决问题的能力”的“四能”，这无疑是一项革命性的进步．

数学核心素养如何通过重构课程内容与形态进而有效落实，在平时的课堂教学中生根开花，是广大数学教师们关注的热点和难点问题．为此我们面向多所学校进行了有益的探索，下面是笔者所执教的一节高三数学微专题研究课“一个三角形面积问题的激活与串讲”的实录与反思，以期为同仁提供借鉴和帮助．

1 背景与意图

1.1 授课对象

本课授课对象为重点高中高三理科班，学生基础好，有较强的自学能力、推理能力及运算能力．本课曾是2017年苏州市对口贵州铜仁市支教示范课、江苏省苏州中学2017年对外公开展示活动示范课．

1.2 设计意图

本课是高三二轮复习课，以微专题的形式设计和组织教学，其设计的核心理念是“联想·激活·串讲”，本课从不同的视角去审视与探究如何解决一个三角形面积最大值的问题，着力培养学生的观察分析，抽象概括，转化化归，拓展延伸，发现新结论与新方法的能力，并能利用三角形的有关性质优化解题过程．通过方法串讲，达到激活思想，有效培育“四能”，提升数学核心素养的目的．

2 实录与启示

2.1 提出数学问题，引导数学探究

师：同学们，本节课我们就下面的三角形面积问题展开讨论，希望大家仔细审题，开动脑筋，积极思考，从不同的视角去观察与分析问题，寻求解决问题的方法．(投影数学问题)

问题已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，D是AC的中点，且BD=3，求△ABC面积的最大值．

学生开始思考与互动讨论．

教学启示在落实数学核心素养过程中，无论是教学设计还是课堂教学，学生始终是主体，只有充分调动学生积极参与，尤其是学生思维的参与，方能得到有效落实．教学中提出富有思考与探究价值的数学问题供学生研究与讨论，学生结合自身数学学习的基本活动经验积累，获得解决问题的思路与方法，通过互动交流，思维碰撞，开拓视野，有利于学生“四能”的发展．

2.2 突出数学本质，开拓解题视野

师：与三角形边角有关的问题，我们总是会联想到正余弦定理，在问题所给的图中，我们抓住其中某个三角形建立边角的联系，都能解决△ABC面积最大值的的问题．同学们有哪些想法呢？

生1：在△ABD中，设∠BAD=θ，AB=2x，则AD=x，由余弦定理可得：5x2-4x2cosθ=9，消去θ即得

学生互动讨论，结合三角形的性质，很容易得出x的取值范围为1

师：生1的解法，在消去θ过程中，运算量是很大的．利用关系式“5x2-4x2cosθ=9”，能否有其它想法呢？

学生继续互动讨论……

生4：运用辅助角公式，转化为两角和与差的正弦来确定函数的最大值，即sinθ+4ycosθ=5y，

师：同学们运用转化与化归、数形结合的思想，联想学过的知识与方法，有效解决了这一问题．其本质是抓住了对关系式“5x2-4x2cosθ=9”的研究视角，消元减参(利用等式消去x或θ)，即选择什么样的参数就会得到什么样的解法，这是不同学习能力的体现．

教学启示著名数学教育家G.波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．作为教师，就是要在学生迷茫的时候帮他们擦亮眼睛，给予有效的引导，进行从知识本质到问题本质的探寻，这是数学思维的核心，是理解知识、发现问题、理解问题和解决问题的关键所在．如以上的探索过程，就是教师引导学生从不同视角去关注关系式“5x2-4x2cosθ=9”所蕴含的数学本质，通过构建△ABC面积的不同函数模型，再借助学生已有的基本活动经验，发现解决问题的方法，激活了知识与方法，点燃了数学思维的火花．

师：前面我们的探索，相对来说更多的关注了“数”(二元关系式)，由于我们研究的三角形是等腰三角形，能否从“形”的视角重新观察和审视我们所研究的问题？

学生继续互动讨论……

生7：由于△ABC是等腰三角形，我考虑通过建立平面直角坐标系的方法来研究，以下是我的解法．

投影学生的解法如下：

生8：在生7研究的基础上，我改进了解法，可以利用基本不等式来解决．我的解法是：

生9：老师，我也是建系处理的，但我认为我的坐标系位置确定的更好．我的解法是：

同学们为此点赞！

师：这位同学的解法彰显了数学文化与数学的理性精神，联想到了课本中经典的阿波罗尼斯圆，发现了“隐形圆”，运用轨迹的思想使解法进一步得到了优化．

教室里出现长时间的掌声，同学们为之兴奋，为这一创造性的解答喝彩，同时也感悟到了数学的乐趣和魅力！

师：这位同学的解法源于他的观察和思考，发现“y2+z2=4”是联想运用基本不等式模型来解决问题的关键，正是由于发现了此规律，才产生了这一创造性的解法．

教学启示发现问题和提出问题的教学是“四能”全面发展的必要条件，也是创新意识和科学精神的重要表现．G.波利亚说过：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规律、模式或定律．”教师在教学中要充分发挥引领作用，如在以上的探索中，教师更多的关注“形”对解决问题的影响，引导学生添加辅助线AE，有意识的让学生发现O为△ABC的重心，由此产生建系的想法，发现AB=2AD，联想到这里有一个隐形的阿波罗尼斯圆；与此同时还发现△OBE是直角三角形，于是得到y2+z2=4，产生了运用基本不等式的方法，让学生感悟到了数学运算中化繁为简的魅力．这些思路在教师的引导下有序展开，让学生逐渐从浅层次的数学思考走向深层次的数学思维活动，这种从不同视角去观察与审视问题、思考与解决问题的探究方法有助于学生“四能”的发展以及对数学本质的理解，对提升学生的数学核心素养具有良好的促进作用．

2.3 联想促进沟通，串讲激活思维

师：观察客观事物，必须从不同角度、不同的方位审视它才能认识事物的本质，解决数学问题也是如此．本课所研究的问题解决，从形态上来说是一题多解，其实质是从不同角度去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的一个过程，不同的视角，产生了不同的解题效果．整个研究过程可以用下列思维导图加以总结．

教学启示数学问题往往具有复杂性、多变性的特点，许多数学问题可谓“横看成岭侧成峰”，一个数学问题，有时看起来困难重重，无从下手，如果能变换一个角度审视它却能一目了然．回顾以上探究问题解决的全过程，教师恰到好处地引导学生从不同视角去探索解决问题的方法，使得数学的问题背景得以彰显，数学知识得以相互联系，转化与化归的数学思想不断地深入人心．联想促进了知识的沟通，串讲激活了学生的思维，数学思想的引领，拓展了学生的解题视野，提升了学生的核心素养．

3 感悟与反思

3.1 转换问题视角的教学感悟

现代研究表明，知识以问题为载体，知识是教与学之间的媒体，问题是数学的心脏，一切思维都是从问题开始的．在教学中教师需要精心设计具有研究价值的问题供学生参与研究，但在很多时候，当教师把问题抛给学生的时候，往往收不到积极回应，很可能问题超出了学生的认知水平．此时教师应搭建研究平台，放手让学生展开讨论，从学生的最近发展区，引导学生从不同视角去观察和分析，降低问题的认知难度，创造机会让学生拾级而上，从中发现新问题，提出新思考．这显然有益于学生对数学本质的理解，有助于对问题的解决．如本课的研究也是从低层次思考到更高层次思维的一个过程，由于本课学习的对象是高三学生，他们已经初步掌握了高中所学的数学知识，积累了一定的数学学习经验，采用微专题的形式对问题展开深度讨论，对学生数学能力提升具有良好的示范效应．本课的研究主要分为两条线索，一是以“数”为主，通过余弦定理得到关系式5x2-4x2cosθ=9，由此发现解决面积问题的两种方案；二是以“形”为主，从AB=2AD发现隐形的阿波罗尼斯圆，从y2+z2=4构建基本不等式模型．研究问题的过程彰显了数与形的完美结合，不同的视角转化为不同的模型，转化与化归的思想贯穿于始终，把看似不相关的内容，通过知识联想，方法串讲有机结合在一起，充分激活了数学思想，有效培育了数学的理性精神和创新意识．本课问题的解决，看似一题多解，实为提升学生数学关键能力和核心素养的思维大餐．高三教学中引入微专题的深度教学，对提高数学教学质量，培养学生素养具有革命性的意义．

英国著名课程理论家劳伦斯·斯滕豪斯认为：知识的重要特点在于它构成了人们进行思维的原料，教学是通过作为思维系统的知识来增进人的自由、发掘人的创造力的．数学教育的目的是通过最大限度激发人的思维能力，挖掘人的潜能，学会用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界以及用数学的语言表达世界．

3.2 转换问题视角的教学价值

转换视角研究问题，是通过学生参与解决数学问题的全过程，培养学生研究问题的学习态度和学习方法，是把解决问题的过程视为不断发现新问题、提出新问题的一个数学思维过程，在这个过程中教师播种了培养学生“发现问题和提出问题”的行为．印度著名哲学家菩德曼说：“播种言行，收获行为；播种行为，收获习惯；播种习惯，收获性格；播种性格，收获命运．”如何让学生收获“有更多的问题视角，能提出更好的问题”？ 实践证明：教师在课堂教学中有效创设问题情境，坚持有意识地培养学生发现问题和提出问题的能力，多留给学生发现问题和提出问题的机会，多留给学生表达自己的想法和见解的时间和空间，善于示范引导，长期地加以方法指导，耐心地鼓励，学生问题意识加强了，发现问题和提出问题能力就会得到提升．学生通过长期的训练，拥有了更多的问题视角，突破思维定势，从容自如地应对各种新问题，成为一个善于思考、独具个性的学习者，而不是知识的容器，这就是教育成功的最大收获，也是转换问题视角的教育价值所在．

4 结语

数学问题解决如何灵活自如、不失时机地调整视角，不但可以曲径通幽，使“难”题不难，而且能独辟蹊径，达奇思妙解之效果．对同一数学表达用不同的“眼光”去观察，用不同的观点去分析，从不同的角度理解它，联想它在不同背景中的含义，就能迅速找到解决问题的“入口”，得到各种解法．因此寻找恰当的视角，可以使数学问题潜在的价值得以更充分的发掘，数学解题的视野由此而变得越来越开阔．同时我们深深地感受到，对数学本质理解的深度和数学思想掌握的高度是开阔数学解题眼界和视野的基石，其中等价转化的思想是解决问题的灵魂，只有站在数学思想铸就的平台上，才能发现更多的视角与视点，真正实现“会当凌绝顶，一览众山小”的意境，达到有效培育“四能”，提升数学核心素养的目的.