一类分式型递推数列通项公式的统一求法

李秀元

(湖北省武穴市实验高级中学 435400)

由递推关系式确定的数列，是数列问题中的难点，熟悉一些常见递推关系式的处理策略就显得尤为重要.下面将看到一类由分式型递推关系式确定的数列，其通项公式的统一求法.

(2)求使不等式an

(2)略.

例3 函数f(x)=x2-2x-3.定义数列xn如下：x1=2，xn+1是过两点P(4，5)，Q(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.

(1)证明：2≤xn

(2)求数列xn的通项公式.

说明本题是2012年高考大纲全国卷试题，按命题者的安排，先证明数列xn的单调性及取值范围，再求通项公式.我们改变了试题的求解顺序，先求通项公式，再证明不等式，可以说证明过程几乎是秒杀，而且求通项的过程正好解释了参考答案中构造的理由，这正是此类分式型递推数列求解方法的直接应用，缺乏方法指导，仅仅通过观察是很难发现其中的秘密的.

作为练习，我们给出武汉市2017届高中毕业生四月调研测试理科的一道选择题，即使本题不需要求通项公式就能确定答案.