一个最值问题的探究之旅

丁君斌 陈香云

课堂中，学生提出了教师事先没有想到的问题，教师该如何对待呢？是视而不见或生硬扼杀地拉回到自己原先设计好的轨道上来，还是顺势借力使学生的提问真正成为课堂的教学资源，让学生在课堂上探索他们自己产生的、有兴趣、有探究价值的问题，笔者在一节“平面向量”复习课中，就出现这样的情景，兹实录如下：

通过巡视教室发现，大部分学生都是这样做的，笔者准备讲下一道例题时，忽然，有一个学生站起来说：“老师，向量具有几何、代数双重身份，你的方法是用代数法，解得也非常巧妙，可是我觉得这道题几何特征明显，是不是可以用几何法解决呢？我根据题意画出如图2所示的图形，即点P在以0为圆心1和2为半径的圆环内运动，点B1，B2分别在在半径为3和4的圆上，点A，P是矩形PB1AB2的两个顶点，问题就转化为在图2中求|OA|的取值范围.”

学生提出了问题，而且是教师也不知道能不能解决的问题，怎么办？如果想解决这个问题，很可能最后会无功而返，教师“面子丢尽”.正准备留给学生一句话：“这个问题提的很好，我们留到课后再探究”然后继续今天的预设教案，转眼看到这个学生期许的眼光，笔者犹豫了，学生能够提出问题，说明他对所学的内容感兴趣，他在积极的思考，他有解决这个问题的期许，他想从老师那里得到自己需要的东西，如果留到课后探究，效果可能大打折扣，于是决定放弃自己既定的教学目标.

师：请说说你自己的困惑，或者说你在哪里卡住了？

（课堂上面对新问题，把问题抛还给学生，激发他们思考的热情，同时也为自己留点思考时间.）

生1：主要是动点太多，有PB1，A2B2个动点.

师：真的有4个动点吗？或者说是否可以不妨固定某个动点吗？

生1：可以固定B或B2，因为B1，B2都可以在圆上任意动，固定其中的一点不会影响题目的结果，我就把B1点固定在（3，0）.另外根据向量的加法原理，如果P点定了A点和B2也随之确定，所以我这道题目实际上就是一个动点.

师：那以前碰到动态问题怎么处理的呢？

生1：特殊化原则，当点P在半径为1的圆上运动时，甚至更特殊就取P（1，0），如图3.

师：好，那我们就特殊化试试看.（1分钟后）

生1：老师，当P（1，0）时，如图求得|OA|=2√6.好像就是最大值，如果能证明P点在其它地方都比2√6小就可以了.

师：能证明吗？其他同学一起试试看能否证明？（5分钟后）

生2：老师，我另外取了几个特殊点P（O，1），P（一1，0），P（√2/2，√2/2），算出来结果都是|OA|=2√6，所以我猜想只要是同一个圆上任意点P，恒有OA=2√6.

师：这位同学想法很好，由特殊到一般，形成猜想，这是数学中的很重要的思想，老师也不知道这个猜想是否正确，下面我们分两组对这个猜想进行验证，一组继续取特殊值验证是不是定值;另一组尝试能否证明这个猜想？（5分钟后，取特殊点的一组同学还是无法找到反例，另一组同学也无法找到证明，这时突然一个学生站起来）

生3：通过对取特殊点计算的过程，我发现|OA|的值仅与|OB1|，|OB2|，|OP|有关，且有|OA|2=|OB1|2+ |OB2|2-|OP|2，所以我形成另一个猜想，无论点p在哪里都有|OA|2= |OB1|2+|OB2 |2一|OP|2.如果能证明这个等式，那么上面的猜想就证明了.

师：（真是一波未平一波又起）为了证明一个猜想，只需证明另一个猜想，这也是数学中的一种重要思想等价转化是想，那我们来试试看能否证明？

（通过巡视，教师发现，学生陷入僵局，此时教师已经发现，这其实就是平面几何中的一个结论，利用向量很容易证明，至此本题已经解决，于是老师做了以下引导）

师：P，B1，A2，B2这四点有什么特征吗？或者说，他们之间有什么联系？ （4分钟后）

生4：P，B1，A，B2，四点共圆，并且AP和B1B2分别是这个圆的两条不同直径（如图4）.于是又转化为只需证明以下结论：AB是圆M的任意一条直径，Ⅳ为平面上一定点（如图5），则|NA|2+ |NB|2为定值.

师：能证明吗？（3分钟后）

生4：利用向量可以证明，因为NA+ NB= 2MN，NA - NB= AB，两式平方和可得到|NA|2+ |NB|2=4|MN|2 +|AB|2（为定值）.因此在图4中因为P，B1，A，B2四点共圆，且AP及B1B2分別是的两条不同直径，O为定点，|OA|2 +|OP|2=|OB1|2 +|OB2|2，所以原题就很容易解决（如图6）：

因为|OA|2= |OB1|2+|OB2|2-|OP|2= 25-|OP|2，由1<|OP|<2.

所以|OA|的取值范围为（√21，2√6）.

至此下课时间到了，学生们还沉浸在发现的喜悦中，意犹未尽，笔者趁热打铁，提出下面两个问题当做课后作业：

1.（2017年高考浙江卷·理15）已知向量a，6满足|a|=1，|b|=2，则a+bl+|a-b|的最小值是____，最大值是____.

2.（2016年高考浙江卷·理6改编）已知平面向量a，b满足|a|=√3/4：b=e1+ λe2（λ∈R），其中e1，e2为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量a，b恒有|a-b|≥√3/4，则e1，e2夹角的最小值为（ ）

A.π/6

B.π/3

C. 2π/3

D. 5π/6

课后大家热情高涨，通过批改作业发现这两题的解法非常之多，对“向量”这一节内容真正做到了灵活运用.

叶圣陶先生曾经说过：“要让课堂活起来”，当课堂上遇到学生的突然发问，这些发问不一定是我们在备课中能预料到的，有的甚至是些稀奇古怪的问题，怎么办？本节课教师把学生的问题还给学生解决，调动了学生的探究兴趣，体现了对学生的尊重，使课堂鲜活生动.

数学教学活动的过程应当是学生“做中学”、“悟中学”的过程，学生在课堂的突然发问，恰恰说明了学生思维的活跃，往往是课堂的闪光之处，如果充分利用这些突然发问，引导学生通过自己讨论把问题解决掉，可以为教师处理教学争取一点时间，还会把学生的思维引向深入，另外，当堂解决问题，也是对学生的发展负责.

王尚志教授指出：“数学核心素养不能离开数学的学习、应用、创新…它们综合体现在‘发现与提出问题、分析与解决问题的过程中，”课堂中，教师应及时捕捉学生思维的火花，给他们提供适当的舞台，创新的见解就会源源不断地涌现出来.