不畏浮云遮望眼，只缘身在最高处——对一道高考试题的反思与拓展

浙江省宁波市武岭中学 竺前杰

题目：（2010年浙江理科第15题）设 为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是_________________。

2010年的浙江理科数学高考卷可谓是好题频出，其中第15题便是一道以等差数列为背景，结合了函数、方程、不等式等知识点的好题。以下是对此题的分析求解过程：

分析：要求d的范围，出发点是将S5S6+15=0这个方程转化为与d有关的方程，但同时也会有如a1或其他参数的伴随，因此可以用方程有解的思想来求解。

解∵S5S6+15=0，

∴2a12+9da1+10d2+1=0，

∵a1是存在的，也即上述关于a1的方程是有解的，

∴Δ=（9d）2-8（10d2+1）≥0，得d≥2 或d≤-2 。

反思1：上述解法中将S5S6转化为了含有基本量a1与d的式子，其实我们也可以将S5S6转化为关于a3与d的式子：

解：∵S5S6+15=0，

∴5a3×整理得：

∵a3是存在的，也即上述关于a3的方程是有解的，

∴Δ=d2-8≥0，得d≥

显然，反思1中对S5S6+15=0的处理更加灵活简便。

反思2：在反思1中的“方程2a32+da3+1=0”，由a3≠0可等价转化为“d=-（2a3+，进一步转化为两个函数：y1=d与y2=-（2a3+的图象有交点，由基本不等式可得y2=2≤所以d≥2d≤此法利用变量分离巧妙地将方程有解问题转化为了函数问题，方程中许多较为复杂的问题利用函数思想可以得到许多简便的解法，从而避免烦琐的分类讨论。这是我们解决此类问题的上上策。

反思3：若在此题中添加条件“a3≥3”，如用方程根分布的方法来解，须对其进行分类讨论：

记 f（a3）=2a32+da3+1（a3≥ 3），

（2）∵f（0）=1，∴当f（3）≤0时方程有解，得

（3无解。

∴综上有

另解∶如果由反思2中变量分离后的两个函数图象有交点的方法来处理此题，其实就是在求函数的值域时多了一个定义域a3≥3，显然由双曲函数的单调性立即可以求得

上述的反思过程中也给了笔者一个启示，在平时的解题过程中不仅要能以多种方法求解，而且还应该对这类问题的各种解法予以比较，从中归纳出解决这类问题的各种方法的利弊，并且得出最优的解决方法。正所谓：“欲穷千里目，更上一层楼。”

拓展1：（2010年天津理科第16题）设函数f（x）=x2-1，对任意恒成立，则实数m的取值范围是 。

解：恒成立，-4m2-1）x2+2x+3≤0。

即恒成立，记在x上是增函数。

∴

此题通过变量分离，避免了直接求的最大值，大大简化了求解的过程。像这样，看似是方程或不等式问题的题目，最终通过变量分离转化为函数问题的题层出不穷，又比如2009年浙江理科第22题的第一小题，如果运用此方法，也将大大简化解题过程。

拓展2：（2009年浙江理科第22题第一部分）已知函数f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R。设函数p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在区间（0,3）上不单调，求k的取值范围。

解：因为 p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）-1，则p'（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），因为p（x）在区间（0,3）上不单调，所以p'（x）=0在（0,3）上有实数解，且无重根，由p'（x）=0得k（2x+1）令t=2x+1，有t∈（1，7），记h（t）则h（t）在（1,3]上单调递减，在[3,7]上单调递增，所以有h（t）∈[6,10），于是而当k=-2时有p'（x）=0在（0,3）上有两个相等的实根x=1，故舍去，所以k∈（-5，-2]。

学习数学离不开解题，解题的过程要不断尝试各种方法，同时要比较各类方法的利弊，而我们解题的目标是从这些常用的方法中总结出适合这类问题的最优方法，这是学数学的关键，也是解决各类问题的核心。只有这样，我们才能达到像著名诗人王安石一样“不畏浮云遮望眼”的境界。